3.1. LA UNIDAD DIDACTICA:

Por la novedad que representa, seleccionamos la Unidad Didáctica que se refiere a las Razones Trigonométricas, unidad a desarrollar en el cuarto curso, opción B, de la E.S.O.

Se diseña la unidad mediante la exposición de los objetivos operativos, los contenidos, su organización, su distribución temporal por sesiones y las actividades a desarrollar. Se estudia, asimismo, la evaluación en sus variadas dimensiones, y se exponen las pautas metodológicas básicas a seguir.

3.1.1. OBJETIVOS:

Veamos los objetivos que deseamos conseguir específicamente en la unidad (objetivos primarios), asi como los objetivos que también se conseguirían al desarrollar la actividad (objetivos secundarios):

a) Objetivos primarios:

1. Conocer y manejar el concepto de razón trigonométrica.

2. Conocer la definición de las razones trigonométrica de un ángulo cualquiera.

3. Conocer las relaciones elementales de las razones trigonométricas de un ángulo.

4. Aprender a deducir las relaciones elementales de las razones trigonométricas de un ángulo.

5. Habituarse a usar las razones trigonométricas para medir longitudes y ángulos indirectamente.

b) Objetivos secundarios:

1. Se conocerá el concepto de circunferencia trigonométrica, y se repasará tanto el teorema de Thales como el de Pitágoras.

2. Se repasará la medición de ángulos.

3. Se ejercitará en la determinación de ángulos iguales.

4. Se aprenderá a determinar indirectamente longitudes por resolución de triángulos (altura de un edificio, ancho de un barranco, etc.).

5. Se ejercitará en el uso de la calculadora para determinar razones trigonométricas de ángulos cualesquiera, y para determinar el ángulo a partir del conocimiento de las razones trigonométricas.

3.1.2. CONTENIDOS:

a) Contenidos conceptuales:

1. Angulo. Mediciones. Circunferencia de radio unidad.

2. Seno, Coseno, Tangente, Cotangente, Secante, Cosecante.

3. El seno del ángulo de 30º. El seno de un ángulo de 45º.

4. Relación pitagórica entre el seno y el coseno.

5. Las razones del angulo de 30º. Las razones de 45º.

6. Las razones de dos ángulos entre si complementarios.

7. Las razones de un ángulo comprendido entre 90º y 180º.

8. Las razones de ángulos entre si suplementarios.

9. Las razones de un ángulo comprendido entre 180º y 270º.

10. Las razones de un ángulo comprendido entre 270º y 360º.

11. Tabulación de las razones de los ángulos accesibles a partir de 30º y 45º.

12. El uso de la calculadora para obtener las razones de un ángulo cualquiera.

13. Uso de la calculadora para obtener el ángulo a partir de una de las razones trigonométricas.

14. Resolver un triángulo rectángulo.

15. Resolución cuando se conoce un cateto y la hipotenusa.

16. Resolución cuando se conocen los catetos.

17. Resolución cuando se conoce la hipotenusa y un ángulo agudo.

18. Resolución cuando se conoce un cateto y un ángulo agudo.

19. Teorema de los senos. Teorema del coseno.

20. Casos de resolución de triángulos cualesquiera.

b) Contenidos de procedimientos:

1. Repaso de la medida de ángulos (radianes, grados sexa­gesimales, grados centesimales).

2. Definir el seno de un ángulo agudo como razón de dos longitudes ordenada del punto al radio de la circunferencia).

3. Razonar mediante el Teorema de Thales que tanto el seno como el coseno no dependen del radio de la circunferencia, por lo que puede usarse una circunferencia de radio unidad (circun­ferencia trigonométrica).

4. Evidenciar que tanto el seno como el coseno de un ángulo agudo son siempre positivos y menores que la unidad.

5. Determinar el seno de un ángulo de 30º por construcción de un triángulo equilátero de lado 1, con dos de sus vértices en el arco de la circunferencia y el tercero coincidiendo con su centro.

6. Obtener el seno de 45º por construcción de un triángulo rectángulo isósceles de hipotenusa 1 (la hipotenusa es el radio de la circunferencia), aplicando el Teorema de Pitágoras.

7. Aplicar elTeorema de Pitágoras para obtener la relación

sen² @ + cos² @ = 1.

8. Definir la tangente, cotangente, secante y cosecante de un ángulo agudo a partir de sus razones seno y coseno:

tg @ = sen @ / cos @ ; ctg @ = cos @ / sen @

sec @ = 1 / cos @ ; cosec @ = 1 / sen @

9. Escribir las razones de 30º y de 45º.

10. Escribir las razones de 90º y de 0º.

11. Evidenciar por construcción la igualdad del seno de un ángulo con el coseno de su ángulo complementario.

12. Escribir las razones de 60º.

13. Evidenciar, por construcción, la igualdad del seno de un ángulo agudo con el seno de su ángulo suplementario, y la igualdad de su coseno con el opuesto del coseno de su suplementario.

14. Obtener, por construcción, las razones de 120º, de 135º y de 150º, estableciendo la simetria con los ángulos de 30º, de 45º y de 60º.

15. Escribir las razones de 180º, gráficamente.

16. Obtener las razones de los ángulos 210º, 225º, 240º, 270º, 300º, 315º, 330º y 360º, mediante razonamiento de tipo gráfico.

17. Mediante el uso de la calculadora, determinar razones de algunos ángulos, no deducibles inmediatamente desde las razones de 30º o 45º (10º, 35º, etc.).

18. Mediante el uso de la calculadora, determinar el ángulo a partir de alguna de las razones trigonométricas, (determinar el arco cuyo seno es x - arcsen x- o el arco cuyo coseno es y -arcos y).

19. Resolver triángulos rectángulos en todos los casos posibles, con aplicación a situaciones físicas concretas.

20. Evidenciar, desde la definición del seno, que se verifican las relaciones

a / sen A = b / sen B = c / sen C

en un triángulo cualquiera de ángulos A, B y C, y cuyos lados opuestos respectivos son a, b y c.

21. Probar, mediante una figura, el teorema del coseno:

a² = b² + c² - 2bc.cos A

en un triángulo cualquiera.

22. Estudiar los cuatro casos de resolución de triángulos cualesquiera.

23. Aplicación práctica de estos casos de resolución de los triángulos oblicuángulos a situaciones físicas concretas.

c) Contenidos referentes a actitudes:

1. Aceptación crítica de utilidad del concepto de ángulo y de las razones trigonométricas habituales para la resolución de problemas de medición.

2. Hábito del uso del concepto de ángulo y de las razones trigonométricas en problemas cotidianos.

3. Revisión sistemática del resultado de las medidas rea­lizadas, directas o indirectas, aceptándolas o rechazándo­las según se adecúen o no a los valores esperados.

4. Cuidado y precisión en el uso de los diferentes instrumentos de medida y en la realización de la medición. Disposición favorable a realizar un planteamiento metódico de un problema de medición.

3.1.2.1. Organización de los contenidos:

Se organizan los contenidos de esta unidad en tres temas, a saber:

LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS, donde se establecerán los aspectos mínimos, tanto conceptualmente como en el ámbito de los procedimientos y las aptitudes.

En este tema han de conseguirse ya los objetivos primarios numerados anteriormente como 1, 2, 3 y 4.

RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS, que contiene la aplicación de las razones trigonométricas a la determinación de medidas indirectas de longitudes y ángulos en problemas prácti­cos elementales.

Este tema, lo mismo que el siguiente, va encaminado a conseguir el último de los objetivos primarios señalados más arriba.

RESOLUCION DE TRIANGULOS OBLICUANGULOS, que contiene ya las aplicaciones más generales de las razones trigonométricas, asi como el establecimiento de dos teoremas (De los senos, y Del coseno), el segundo de los cuales presenta una cierta elaboración en su establecimiento.

3.1.2.2. Distribución temporal:

RAZONES TRIGONOMETRICAS:.... 5 Sesiones de 1 Hora

Primera sesión:

Repaso de la medición de ángulos. Los tres ángulos de un triángulo suman 180º. Dibujamos en la pizarra una circunferencia indicando su radio, asi como la accisa y ordenada de un punto de la misma situado en el primer cuadrante mediante letras. Defini­mos a continuación el seno como la razón de la ordenada al radio y el coseno como la razón de la abcisa al radio. Ponemos va­rios ejemplos y pedimos a los alumnos que pongan ejemplos de circunferencia de radio diferente y puntos para definir ángulos en lugares diferentes del arco. Recordamos a los alumnos el Teorema de Thales para establecer que tanto el seno como el coseno se mantendrían igual si las circunferencia fuera más pequeña o más grande. Se deberá concluir que lo más sencillo es utilizar una circunferencia de radio unidad, a la que convendremos en llamar circunferencia trigonométrica. Pedimos a los alumnos que decidan sobre el signo del seno y del coseno cuando el ángulo es agudo, y también cuando es mayor que 90º y menor que 180º. Lo mismo para ángulos del tercer y cuarto cuadrante del plano. Definimos a continuación la tangente y la cotangente, asi como la secante y la cosecante, todas a partir de las nociones de seno y coseno.

Segunda sesión:

Repaso del signo de las razones seno, coseno, tangente y cotangente. Preguntaremos ¿Porqué el seno y el coseno son me­nores que la unidad en valor absoluto?. ¿Porqué no la tangente y la cotangente?. ¿Porqué la secante y la cosecante son ambas mayores que la unidad en valor absoluto?. Calcularemos las razones de 0º,90º, 180º, 270º y 360º. Obtendremos mediante el teorema de Pitágoras la relación entre el seno y el coseno, sobre una circunferencia trigonométrica. Dibujaremos una circunferencia y un radio limitando un ángulo de 30º aproximadamente, y otro radio limitando un ángulo de -30º grados. Uniremos los extremos de ambos radios hasta construir un trián­gulo que evidenciaremos como equilátero por tener los tres ángulos iguales y también dos de los lados. Señalaremos el seno del ángulo de 30º que coincidirá con la mitad exacta de uno de los lados, con lo que resulta ser sen 30º = 1/2. Pediremos a los alumnos el cálculo de las restantes razones de 30º.

Tercera sesión:

Para estudiar las razones de 45º dibujaremos una circun­ferencia trigonométrica y utilizaremos el teorema de Pitágoras para determinar su seno (sen² 45º+cos² 45º = 1 --> sen 45º = ¹2/2). Obtendremos como práctica las restantes razones de 45º.

Pasaremos a definir ángulos entre si complementarios, suplementarios. Pedimos a los alumnos el descubrir como están relacionados el seno y el coseno de los ángulos entre si complementarios y entre si suplementarios. Obtendremos como trabajo de clase las razones de 60º, de 120º y de 135º.

Cuarta sesión:

Dedicaremos esta sesión a determinar los restantes ángulos que se pueden obtener a partir de los de 30º, 45º, 90º por construcción gráfica sobre la circunferencia trigonométrica. Construyendo una tabulación para todas estas razones. Hablaremos del uso de la calculadora para obtener cualquier razón de cual­quier ángulo.

Quinta sesión:

En esta sesión seguiremos usando la calculadora y anali­zaremos los resultados obtenidos en la pantalla de la misma, viendo si aparece una magnitud lógica, con la ayuda de una circunferencia trigonométrica dibujada en la pizarra. Hablaremos someramente de la posibilidad de usar las razones trigo­nométricas para calcular longitudes. También usaremos la calculadora para obtener el ángulo a partir de una razón. Pediremos opiniones sobre esta posibilidad a los alumnos.

TRIANGULOS RECTANGULOS:.... 5 Sesiones de 1 Hora

Primera sesión:

Estableceremos en qué consiste resolver un triángulo rectángulo. Dibujaremos triángulos rectángulos y señalaremos las razones trigonométricas de sus ángulos agudos en función de la hipotenusa y de sus catetos. Pediremos a los alumnos que es­tablezcan que datos serían necesarios para resolver un triángulo rectángulo. A partir de un pequeño debate sobre el asunto es­tableceremos los casos posibles de resolución de triángulos rectángulos. Pediremos que se planteen problemas concretos de la realidad cotidiana que necesiten resolución de un triángulo rectángulo.

Segunda sesión:

Comenzaremos a resolver el caso de un triángulo en el que se conoce un cateto y un ángulo agudo. Realizaremos varios ejemplos teóricos antes de pasar a establecer problemas prácticos, como calcular la altura de una torre conociendo la longitud de la sobra y su inclinación sobre el suelo, etc. Resolveremos también el caso en el que se conoce la hipotenusa y un ángulo agudo.

Tercera sesión:

Completamos en esta sesión el estudio de los casos de resolución de triángulos rectángulos, estableciendo la solución para el caso de conocer como datos la hipotenusa y un cateto y, finalmente, el caso de conocer los dos catetos. Plantearemos ejemplos reales de determinación de la medida de estas distan­cias en supuestos prácticos.

Cuarta sesión:

En esta sesión debatirán los alumnos la importancia de las razones trigonométricas para medir de forma indirecta longitudes y ángulos. La necesidad de que el planteamiento sea correcto y la realización del gráfico con orden y claridad. Se verá que existen problemas donde el triángulo podría no ser rectángulo, sino oblicuángulo, con lo que seria necesario idear la forma de resolver estos triángulos también. Se pedirá la opinión sobre problemas nuevos, el planteamiento de situaciones novedosas por parte de los alumnos, etc.

Quinta sesión:

Esta quinta sesión podría no ser necesaria. Todo dependerá de la forma de responder de los alumnos al proceso de enseñanza aprendizaje. Dejamos abierta la posibilidad de esta sesión en función de la diversidad de los alumnos del grupo. Podría utili­zarse, caso de ser posible, para realizar un trabajo de campo, como una medición indirecta real, tal como se muestra en las actividades.

TRIANGULOS OBLICUANGULOS:.... 5 Sesiones de 1 Hora

Primera sesión:

Dibujaremos un triángulo oblicuángulo en la pizarra. Mos­traremos cómo ahora ya no es posible aplicar en él el Teorema de Pitágoras, pero trazando la altura, si será posible trabajar con los dos triángulos rectángulos en los que dividimos la figura.

Preguntamos a los alumnos por las razones de los ángulos que aparecen en la figura, en función de la longitud de la altura trazada y de los dos segmentos en los que ha quedado dividida la base del triángulo. Pediremos a los alumnos que eliminen la altura para que resulten las relaciones a las que denominaremos Teorema de los Senos. Discutiremos la importancia del teorema obtenido ¿Para que sirve?. Encontraremos casos de aplicación practica en ejemplos elementales.

Segunda sesión:

Hablaremos a los alumnos de la necesidad de encontrar otra relación que permita estudiar mejor la resolución de triángulos oblicuángulos. Dibujaremos un triángulo en la pizarra, igual al del día anterior, volveremos a escribir resumidamente el Teorema de los senos y preguntaremos si no sería posible escribir tam­bién el teorema de Pitágoras aplicándolo a cada uno de los dos triángulos en que queda dividida la figura. Escribiremos las correspondientes relaciones y planteamos la posibilidad de eliminar los dos segmentos en que ha sido dividida la base en función de los restantes datos del triángulo original. Efectuaremos la eliminación hasta obtener el resultado que llamaremos Teorema del Coseno. Lo escribiremos despejando cada uno de los tres lados del triángulo. Intentaremos que los alum­nos se manifiesten sobre su posible utilidad, con ejemplos puestos por los mismos alumnos.

Tercera sesión:

Comenzaremos estableciendo los casos de resolución posibles: dados un lado y dos ángulos, dados dos lados y el ángulo comprendido, dados los tres lados y que se conozcan dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Pediremos a los alumnos, caso por caso, qué se podría hacer para resolver el triángulo, te­niendo como instrumento solo los dos teoremas conocidos (de los Senos y del Coseno). Resolveremos entre esta y la siguiente sesión los cuatro casos.

Cuarta sesión:

Continuaremos resolviendo los casos de triángulos oblicuangulos o bien aplicando ya los cálculos a ejemplos reales concretos (trayectoria de móviles, por ejemplo). Usaremos la calculadora para determinar tanto ángulos, como razones tri­gonométricas, así como la exactitud de las medidas de longitud en problemas reales.

Quinta sesión:

Esta quinta sesión podría no ser necesaria. Todo dependerá de la forma de responder de los alumnos al proceso de enseñanza aprendizaje. Dejamos abierta la posibilidad de esta sesión en función de la diversidad de los alumnos del grupo. Podría ser utilizada para realizar un trabajo de campo, que implique una medición indirecta, tal como se muestra en las actividades.

Ejercicios y pruebas adicionales:........ 3 Horas

Los alumnos realizarán ejercicios escritos que permitan añadir un elemento más al proceso evaluador y rediseñar la unidad didáctica corrigiendo errores cometidos en su desarro­llo, estableciendose la necesidad o no de una quinta sesión de refuerzo para triángulos rectángulos y otra para triángulos oblicuángulos, tal como se ha mencionado antes.

Total:................................... 18 horas

3.1.2.3. Adaptaciones curriculares posibles:

En función de la diversidad de los alumnos, pensamos que podría modificarse la unidad didáctica suprimiendo el tema de la resolución de triángulos oblicuángulos, ya que su inclusión en la unidad no es imprescindible para la consecución de los objetivos primarios, ni, evidentemente, tampoco necesario para el establecimiento de los contenidos mínimos prescritos en el Real Decreto 1007/91.

Otra adaptación posible en función de los medios tecnoló­gicos disponibles en el Centro, habría que configurarla ante la posibilidad del uso de programas de ordenador para los procesos de resolución de triángulos rectángulos u oblicuángulos, lo que posibilitaría el incluir tanto en los contenidos de procedimien­tos como de actitudes aspectos nuevos no contemplados antes.

3.1.3. ACTIVIDADES:

1. Ejercicios prácticos de comprobación del intervalo de valores posibles para el seno y el coseno.

2. Ejercicios prácticos y problemas relativos a la obtención de razones trigonométricas de un ángulo a partir del seno y coseno.

3. Ejercicios de obtención de las razones de un ángulo por comparación con otro complementario o suplementario.

4. Ejercicios de obtención de razones trigonométricas de un ángulo por comparación gráfica con otro ángulo de razones co­nocidas.

5. Ejercicios relativos a la determinación del seno o coseno de un ángulo por uso de la calculadora.

6. Ejercicios relativos a la determinación indirecta de medidas de longitudes y ángulos sobre triángulos rectángulos.

7. Ejercicios relativos a la determinación indirecta de longitudes y ángulos sobre triángulos oblicuángulos.

8. Ejercicios de planteamiento reductivo a un triángulo, ya sea rectángulo u oblicuángulo, de un problema de naturaleza real, ancho de una calle, de un rio, etc.

9. Ejercicios de campo, como determinar el ancho de una vía de circulación de forma indirecta, suponiéndola inaccesible, a partir de la medición de la distancia paralela entre dos puntos A y B, de una de las aceras y del ángulo que forma dicha distan­cia con la visual desde A a un punto C, situado sobre la otra acera y en la perpendicular a la vía que pasa por B.

3.1.4. EVALUACIÓN:

3.1.4.1. Criterios:

La evaluación ha de tener dos dimensiones:

a) La evaluación del alumno.

b) La evaluación del funcionamiento de la Unidad Didáctica.

No debemos centrarnos en aspectos concretos, sino que hemos de intentar medir "la totalidad" del proceso de enseñanza-apren­dizaje (conocimiento de hechos, aplicaciones, estrategias, conceptos construidos, etc.).

No siempre los fallos o "dificultades" son del mismo orden. Por ejemplo, el fallo en dominar una destreza puede ser debido a no haber repetido determinada habilidad, o a una errónea comprensión del concepto, a una insuficiente variedad de ex­periencias, etc. Cada caso requiere un diferente tratamiento didáctico.

La efectividad de la enseñanza necesita de la evaluación continuada tanto de las conductas de los alumnos como de todos los elementos que intervienen en el proceso. La mejor oportu­nidad es, naturalmente, el trabajo diario.

La evaluación ha de reflejar "lo acertado" de la metodo­logía. La diversidad de caminos y métodos posibles para plantear y resolver un problema. Valoraremos positivamente la creativi­dad, la divergencia, la diversidad de soluciones, etc.

Fundamentalmente, hemos de basar la evaluación de los alumnos en el análisis cualitativo del trabajo que realizan, aunque también realizaremos pruebas, preguntas orales, inci­tación al debate, etc. como métodos de recogida de datos.

3.1.4.2. Instrumentos:

Registro directo de la actuación del alumno. Observación más o menos sistematizada de su comportamiento en el proceso de enseñanza-aaprendizaje de la unidad didáctica.

Opinión de los alumnos sobre su propio rendimiento, expresada en forma individual o colectiva (utilidad de las razones trigonométricas, de su aplicabilidad, de la forma de introducirse el concepto, etc.).

Datos aportados por el material producido por los propios alumnos:

1. Resultados de las pruebas escritas realizadas.
2. Cuaderno de trabajo en clase, donde figuren los razona­mientos constructivos de las razones, teoremas del coseno y teorema de los senos, tanto como los planteamientos ordenados de los problemas y ejercicios de clase.
3. Resumen elaborado al final de la unidad, ya sea en forma de narración de las incidencias de un trabajo de campo realizado, o de las dificultades encontradas en la clase.

Información recopilada desde el "historial" del alumno (rendimiento en las otras unidades didácticas del curso, rendimiento en el tercer curso, rendimiento en el primer ciclo, etc., así como características psicológicas o sociales propias).

Elaboración de un informe que refleje no solo el desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje sino la interpretación que del mismo hace tanto el profesor como el alumno.

3.1.4.3. Evaluación del alumno:

Evaluación inicial:

Tiene como finalidad el diagnóstico de tipos y grados de conocimiento sobre cuestiones fundamentales para el comienzo de la Unidad Didáctica. En nuestro caso habría que observar:

- La noción del concepto de ángulo.

- La habilidad en la medida de ángulos.

- Si recuerda o no el teorema de Pitágoras.

- Si establece adecuadamente estrategias de cálculo de proporcionalidad y Teorema de Thales.

- Actitud frente a la resolución de problemas de medicio­nes indirectas de longitudes y ángulos.

Evaluación formativa:

Es la evaluación a realizar a lo largo del proceso del desarrollo de la Unidad Didáctica. Cumple la función de adecuar el tipo de ayuda del profesor a las necesidades de cada alumno. Se ha de proceder a la recogida de información diaria en un cuaderno de clase de todas las cuestiones que pueden incidir en la marcha del proceso de enseñanza-aprendizaje, e inclusive, si fuera preciso, a la charla personal con cada alumno. Se ha de evaluar aspectos genéricos como:

1. Hábitos de trabajo y aptitud positiva hacia la asigna­tura.

2. Estrategias matemáticas que se ponen en juego.

3. Construcción de conceptos y estructuras conceptuales.

4. Avances, dificultades y errores que se dan en el proceso de aprendizaje.

Evaluación sumativa:

Es la evaluación a realizar al final de la Unidad Didáctica, y debe mostrar el grado de consecución por el alumno de los objetivos propuestos. Se utilizarán las actividades realizadas por los alumnos en la última fase, actividades de cierre de la Unidad Didáctica, como especialmente propicias para la recepción de la información necesaria, no en el sentido tradicional de Examen, sino como situaciones especialmente propicias debido a la riqueza y variedad que estas actividades de cierre abordarán.

Se puede utilizar una escala de valoración del tipo siguiente:

1. Atención e interés por el trabajo en clase.

2. No se perciben bloqueos por hipertensión, ansiedad o sentido del fracaso.

3. Tiene ilusión por aprender y se divierte en la clase.

4. Contrasta sus opiniones con las de los demás.

5. Lleva el trabajo al dia.

6. Le gusta tener las cosas ordenadas y limpias.

7. Valora el trabajo bien hecho.

8. Trabaja autónomamente, formula, desarrolla y comprueba sus propias ideas.

9. Sabe trabajar en equipo.

10. Valora la utilidad de lo aprendido.

11. Entiende el concepto de ángulo.

12. Utiliza correctamente la circunferencia para medir ángu­los, incluso mayores de 360º.

13. Sabe la definición de ángulos complementarios y suplementarios.

14. Sabe que la suma de los tres ángulos de un triángulo es de 180º

15. Sabe definir el seno y el coseno, sobre la figura de la circunferencia trigonométrica.

16. Sabe porqué la definición del seno y coseno no depende del radio de la circunferencia utilizada.

17. Entiende claramente la variación del seno y del coseno de un ángulo agudo, al variar el ángulo.

18. Es capaz de determinar el signo del seno o del coseno representando gráficamente una circunferencia.

19. Conoce la definición de tangente, cotangente, secante, cosecante.

20. Determina las razones de 0º, 90º, 180º, 270º y de 360º, por visualización gráfica sobre la circunferencia trigonomé­trica.

21. Puede, mediante la construcción de la figura de un trián­gulo equilátero sobre la circunferencia trigonométrica, determi­nar el seno de 30º.

22. Puede determinar el seno de un ángulo de 45º mediante una construcción gráfica de un triángulo rectángulo isósceles.

23. Sabe determinar las restantes razones de 30º y de 45º, a partir del seno de 30º y de 45º, respectivamente.

24. Determina las razones de 60º, 120º, 135º, 150º a partir de las razones conocidas de 30º y 45º.

25. Es capaz de usar una calculadora para determinar cualquiera de estas razones, para ángulos agudos cualesquiera.

26. Es capaz de determinar el seno/coseno de un ángulo a partir del coseno/seno de su ángulo complementario.

27. Es capaz de determinar el seno/coseno de un ángulo a partir del seno/coseno de su suplementario.

28. Puede construir una tabla con las razones de todos los ángulos obtenidos a partir de 30º, 45º, por complementarios, suplementarios, por simetría en la representación gráfica de la circunferencia trigonométrica.

29. Utiliza el seno o el coseno para determinar la longitud de un cateto a partir de la hipotenusa de un triángulo rectángu­lo.

30. Puede resolver triángulos rectángulos.

31. Sabe triangularizar un problema cotidiano de mediciones indirectas y resolverlo mediante la resolución de un triángulo.

32. Puede razonar el teorema de los senos.

33. Puede resolver triángulos oblicuangulos.

34. Puede razonar el teorema del coseno.

35. Es capaz de resolver un problema de mediciones indirectas reales por planteamiento y resolución de un triángulo oblicuángulo cualquiera.

Autoevaluación del alumno:

Es un elemento de información importante para el profesor la autoevaluación que hace el alumno de su tarea individual y en equipo. Una reflexión sobre sus hábitos de trabajo, sobre lo aprendido, es de validez indudable en el proceso evaluador. Esta evaluación se puede concretar en lo siguiente:

- Conservación de los materiales de clase, tareas, represen­taciones gráficas, ejercicios prácticos, etc.

- Opinión sobre el trabajo realizado, sobre la Unidad Di­dáctica, su utilidad, si ha aprendido o no.

- Grado de consecución de los objetivos propuestos, razones por las que no han sido conseguidos, etc.

- Conformidad o no con la valoración que el profesor hace de su trabajo, porqué, etc.

Evaluación del trabajo en equipo:

Desde cada grupo de trabajo se elaborará un pequeño informe que permita reflexionar sobre:

1. Participación de los distintos miembros del grupo con la aportación de cada uno. Si no hay aportación de alguno de los miembros, analizar las causas.

2. Forma de organización de la tarea. ¿Ha sido cooperativa?. ¿Se han tenido en cuenta las ideas de todos sus miembros?.

3. Si tiene la sensación de perder el tiempo con el trabajo en el grupo, o por el contrario, piensa que con los demás apren­de más o mejor.

4. En que medida ha mejorado la capacidad de cada uno de los participantes para abordar tareas similares en solitario.

3.1.4.4. Evaluación del funcionamiento de la Unidad:

El profesor elaborará un informe, a partir de sus propias anotaciones de clase, sobre el funcionamiento de la Unidad Didáctica al llevarse a la práctica del aula, el cuál quedará a disposición de otros profesores, ya que será fuente de in­formación para mejorar el diseño de la misma en los cursos siguientes.

Se puede establecer dicho informe estudiando los aspectos tanto del diseño de la Unidad Didáctica como de la interacción profesor-alumno en el proceso de enseñanza-aprendizaje.

Aspectos relativos al diseño de la Unidad Didáctica:

Se ha de valorar tanto si el diseño expuesto ha contribuido a desarrollar una práctica rica como si ha sido suficiente para responder a la demanda del aula. Concretamente se tendrá en cuenta:

- Recursos (materiales, fuentes de información, etc.).

- Actividades de enseñanza y aprendizaje (interés promovido, nivel de apertura y concreción de las tareas, etc.).

- Grado de dificultad de las tareas y adecuada secuencia­ción.

- Observaciones y reflexiones sobre los procesos de aprendi­zaje de los alumnos participantes.

- Estructura de la Unidad (puesta de relive de las líneas de avance, y si éstas han facilitado el aprendizaje).

Interacción profesor-alumno:

- Las situaciones nuevas que se han dado en el aula ¿han servido para mejorar y enriquecer las ideas sobre ángulos y mediciones indirectas en la práctica cotidiana?. Se anotarán las peculiaridades observadas respecto a estrategias de cálculo, dificultades y rigideces en el reconocimiento y utilización de los significados.

Adaptación o no del diseño a las diferencias individuales.

Percepción o no por los alumnos del sentido de la tarea que van realizando durante todo el proceso.

- Si se ha facilitado o no un clima de contraste de opiniones, garantizando la participación de todos.

- La organización en grupos ¿ha resultado positiva?.

3.1.5. METODOLOGÍA:

La metodología a desarrollar en esta Unidad Didáctica es coherente con las pautas metodológicas generales propias del Area de Matemáticas:

1. Crear situaciones de aprendizaje motivadoras:

Se pueden crear situaciones motivadoras del aprendizaje y uso de las razones trigonométricas dándole un enfoque in­vestigativo que haga que el alumno "descubra" los conceptos por si mismo.

2. Propiciar la explicitación de los esquemas previos:

Los esquemas previos que posee el alumno sobre triángulos, Teorema de Pitágoras, Teorema de Thales, etc., quedan, obviamen­te, explicitados al desarrollar los temas.

3. Propiciar el progreso conceptual:

Se debe propiciar el progreso conceptual secuenciando adecuadamente la explicitación de la información en la clase.

4. Promover situaciones de aplicación de lo aprendido:

En esta Unidad Didáctica está claro que los temas de resolución de triángulos tienden a promover situaciones de aplicación de lo aprendido.

3.1.5.1. Actividades de los alumnos:

Las actividades que los alumnos realizarán dentro del proceso de enseñanza-aprendizaje ya han sido señaladas al describir las sesiones de una hora de duración dentro de la temporalización diseñada para la unidad. Los tipos de ejercicios han sido, además, resumidos en el apartado dedicado a las actividades.

Pensamos, además, que el alumno debe leer relaciones de ejercicios y aplicaciones diversas de las razones trigo­nométricas. La potenciación de la capacidad de lectura en este curso es conveniente para los estudios posteriores a emprender por el alumno.

3.1.5.2. Materiales y recursos didácticos:

a) Materiales imprescindibles:

Pizarra, tiza.

Calculadora con funciones trigonométricas incorporadas.

Textos de aplicación de las razones trigonométricas.

b) Materiales que serian de desear para un mejor funcionamiento de la Unidad Didáctica:

Ordenadores, caso de que el centro pudiera disponer de, al menos, un ordenador compatible para cada dos alumnos del grupo, en utilización simultanea.

Una calculadora por alumno, con funciones trigonométricas incorporadas.

Instrumentos de dibujo corrientes y específicos (Pantógrafos y compases reductores) y cintas métricas.

Aparato reproductor de vídeo, fácilmente transportable.

Materiales de uso múltiple, como policubos y espejos.

3.2. RELACION ENTRE LOS CONTENIDOS DE LA UNIDAD DIDACTICA Y LOS OBJETIVOS GENERALES DEL AREA:

Los objetivos generales del Area de Matemáticas, que figuran anteriormente descritos, se cumplen, en una cierta medida, desde los contenidos propuestos en la programación de la Unidad Di­dáctica:

1. Incorporan al lenguaje y modo de argumentación habitual las formas de expresión geométrica y gráfica.

2. Se utilizan formas de pensamiento lógico para realizar referencias y deducciones (conceptos de las razones trigo­nométricas) y se organizan y relacionan informaciones diversas relativas a la vida cotidiana y problemas concretos (resolución de triángulos).

3. Se recogen aspectos de la realidad que permiten interpre­tarla mejor, utilizando técnicas y procedimientos de medida, y cálculos apropiados a cada situación.

4. Se elaboran estrategias personales de análisis de si­tuaciones concretas, así como la identificación y resolución de problemas (aplicaciones a la resolución de triángulos rectángulos y oblicuángulos en general).

5. Se identifican las formas y relaciones espaciales que se presentan en la realidad, analizando las propiedades y re­laciones geométricas implicadas.

3.3. CONEXION DE LOS CONTENIDOS DE LA UNIDAD DIDACTICA CON LOS CONTENIDOS DE LOS CICLOS ANTERIORES Y POSTERIORES:

a) Conexión de los contenidos de la Unidad Didáctica con los ciclos y cursos anteriores:

Los conceptos, procedimientos y actitudes que se es­tablecen como contenidos generales de la unidad didáctica programada aquí se conectan con los contenidos anteriores, de la manera que se indica:

Con los contenidos del Primer Ciclo:

Medición de Magnitudes: Unidad de Medidas en primer año.

La medida de una longitud: Unidad de Medidas primer año.

La medida de ángulos: Unidad de Medidas. Primer año.

Elementos geométricos del plano y del espacio: Unidades respectivas en primer y segundo año.

Polígonos: Elementos del Plano. Primer año.

Proporcionalidades: Unidad del segundo año.

Figuras semejantes: Proporcionalidades y Elementos Geométricos del Espacio. Segundo año.

Con los contenidos del Segundo Ciclo:

Mediciones: Unidad 1ª del tercer año.

Medidas aproximadas: Unidad 1ª del tercer año.

Mediciones indirectas: Unidad 1ª del tercer año.

El Teorema de Pitágoras figura en el estudiode Poligonos y el Teorema de Thales figura en el de Proporcionalidad de longi­tudes.

b) Conexión de los contenidos de la Unidad Didáctica con los ciclos y cursos posteriores:

Dentro de la Educación Secundaria Obligatoria, el curso en el que se programa esta Unidad es el último de la Etapa, es decir no existen cursos posteriores dentro de la Educación Secundaria Obligatoria.

El siguiente curso corresponde ya al primer curso del Bachillerato. En este curso hay una asignatura de Matemáticas para el Bachillerato de Ciencias de la Naturaleza y de la Salud y Tecnología, y otra para el Bachillerato de Ciencias Sociales y Humanidades.

La conexión clara de la Unidad Didáctica con la primera de esta asignaturas de modalidad se evidencia en el párrafo siguiente, tomado de "Bachillerato: estructura y contenidos", página 193, en el apartado correspondiente al bloque de Geo­metría, para esta asignatura:

"Se aborda la Trigonometria como herramienta básica para la Física, la Tecnología y las propias Matemáticas. El alumno ha de conocer y manejar con destreza las razones trigonométricas y sus aplicaciones inmediatas, la resolución de triángulos gráficamente y por medios trigonométricos, y las funciones circulares, sus caracteristicas y algunas de las situaciones en las que aparecen."

DOCUMENTACION:

1. L.O.G.S.E, Ley Orgánica 1/1990, de 3 de octubre. (B.O.E. de 4 de octubre).
2. PIAGET, JEAN. "Seis estudios de psicología". Barcelona, 1985, Planeta-Agostini, páginas 93 a 107 (La Adolescencia).
3. PALACIOS, JESUS - MARCHESI, ALVARO - CARRETERO, MARIO. "Psicología evolutiva. 2. Desarrollo cognitivo y social del niño". Madrid, 1984, Alianza Universidad Textos, páginas 207 a 250 (Las Operaciones Concretas- recopilación de Mario Carretero y Elena Martin).
4. REAL DECRETO 1007/91, de 14 de junio, por el que se establecen las enseñanzas mínimas correspondientes a la Educación Secundaria Obligatoria. (B.O.E. del 26 de junio).
5. REAL DECRETO 1345/91, de 6 de septiembre, por el que se establece el currículo de la Educación Secundaria Obligatoria. (B.O.E. del 13 de septiembre).
6. DISEÑO CURRICULAR. ASPECTOS GENERALES. Enseñanza Secundaria Obligatoria 12-16. Sevilla, 1989. Junta de Andalucía. Dirección General de Renovación Pedagógica.
7. DISEÑO CURRICULAR DE MATEMATICAS. 12-16. Sevilla, 1989. Junta de Andalucía. Dirección General de Renovación Pedagógica.
8. VIERA, ANA - NIETO, JESUS. "Anteproyecto para el Diseño Curricular. Área de Matemáticas 12-16". Sevilla. Junta de Andalucía. 1988
9. DECRETO 106/1992, de 9 de junio por el que se establecen las Enseñanzas correspondientes a la Educación Secundaria Obligatoria en Andalucía. (B.O.J.A. del 20 de junio).