4.0. LA ASIGNATURA ELEGIDA Y SUS BLOQUES TEMÁTICOS:

Pasamos a elegir para ejemplo de programación en este nivel, la asignatura de Matemáticas de Segundo Curso del Bachillerato en la modalidad de Ciencias de la Naturaleza y de la Salud, que también se impartirá en la modalidad de Tecnologia. Este Segundo Curso de Bachillerato digamos que es el último curso de la Enseñanza Secundaria en España. Los alumnos que superan este curso sufren al final del año académico una Prueba de Selectividad para poder entrar, caso de superarla, en las Facultades Universitarias. Los alumnos cursan el bachillerato en el nivel de edades de 16 a 18 años, una vez terminada la Educación Secundaria Obligatoria.

De acuerdo con lo establecido en el documento "Bachillerato: estructura y contenidos", páginas 194, 195, 196 y 197, se definen los Núcleos Temáticos que han de constituir la asignatura:

Combinatoria.

Sistemas de Ecuaciones. Determinantes.

Análisis.

Geometria Analítica del Plano y del Espacio.

Siendo transversalizados por los bloques:

Resolución de los problemas.

Teorización.

Utilidad.

Antes de iniciar la tarea de programar la asignatura repasa­ remos el nivel mínimo en el que han de encontrarse los alumnos al iniciarse el proceso de enseñanza aprendizaje en esta asignatura.

Los alumnos han cursado ya la Etapa de la Educación Secundaria Obligatoria y también la asignatura de Matemáticas correspondiente al Primer curso del Bachillerato, en la antedicha modalidad, la cual contendrá los Núcleos Temáticos siguientes ("Bachillerato: Estructura y Contenidos", pags 192, 193 y 194):

Aritmética y Algebra.

Funciones.

Geometría.

Estadística y Probabilidad.

4.1. EL NIVEL PREVIO DEL ALUMNO:

En lo que respecta al inicio del núcleo temático de Combinatoria:

Conoce el concepto de aplicación y teoria de funciones a un nivel elemental, intuitivo. Pensamos que está en disposición por tanto, de aceptar la introducción del concepto de factorial de un número como una aplicación de N en N* = N - {0}.

Asimismo, pueden ser desarrollados razonamientos inductivos en la justificación y prueba de expresiones combinatorias.

En lo que respecta al inicio del núcleo temático de Sistemas de Ecuaciones Lineales. Determinantes:

Conoce, desde el curso anterior, la resolución de sistemas de ecuaciones lineales por el método de reducción de Gauss.

Conoce las definiciones básicas del concepto de matriz, de matrices especiales, de suma de matrices y producto de matrices entre si multiplicables. Pensamos que los alumnos están, por tanto, en disposición de iniciar el estudio de los determinantes de forma rigurosa, usando los conceptos de inversión, sustitución, signatura de una permutación, etc, que conoce del Núcleo Temático anterior, en esta misma asignatura. Sus ideas sobre los sistemas lineales, desde el curso anterior, permitirá estudiar formalmente el Teorema de Rouché-Fröbenius y la discusión de sistema lineales, asi como la resolución metódica mediante la Regla de Cramer.

En lo que respecta al inicio del núcleo temático de Análisis:

Conoce desde el curso anterior, aunque a nivel intuitivo, algunos aspectos de las funciones (ramas infinitas, continuidad, derivabilidad, puntos de derivada nula, área bajo una curva, etc.)

y su obtención por métodos casi artesanales. Ahora puede iniciar el estudio sistemático del análisis, y la aplicación de sus métodos a fenómenos físicos, técnicos, biológicos, sociológicos, etc..

En lo que respecta al inicio del núcleo temático de Geometría Analítica del Plano y del Espacio:

La geometria plana, que fué iniciada en el primer curso de Bachillerato, se completa ahora con el estudio de los lugares geométricos, entre ellos, las cónicas.

A partir de aquí, se trata de estudiar y aplicar el espacio afin tridimensional, y el espacio afin euclideo tridimensional, a problemas geométricos y técnicos.

4.2. PROGRAMACIÓN DE MATEMÁTICAS 2º CURSO:

Programamos a continuación la asignatura, después de haber considerado el nivel previo de los alumnos, a los que cabe suponer la superación tanto de los aspectos básicos de la Educación Secun­ daria Obligatoria como de la asignatura de Matemáticas del Primer Curso de Bachillerato en la modalidad de referencia.

4.2.1. OBJETIVOS:

Siguiendo la propuesta de Objetivos Generales de la Matema- tica en la Etapa 16-18, desde los Diseños Curriculares elaborados por la Consejeria de Educación, podemos ver aqui los objetivos que se conseguirán con esta asignatura:

a) Objetivos relativos a estrategias y destrezas cognitivas:

1. Desarrollar la capacidad de identificar, formular y resolver problemas:

Este objetivo, fundamental en este nivel, consideramos que se ha de conseguir en todos los Núcleos Temáticos (Combinatoria, Ecuaciones Lineales, Geometria del Espacio, Análisis), con as­ pectos distintos para los problemas propios de la geometria eucli­ dea.

2. Desarrollo de la capacidad de comprender diversos tipos de mensajes en contextos susceptibles de tratamiento matemático.

El alumno debe ser capaz de comprender la lectura de un texto cientifico, asi como de emitir un juicio crítico sobre lo que lee.

Debe poder ser capaz de manejar bibliografia de consulta sobre aspectos relativos a los núcleos temáticos de la asignatura.

En cuanto a las exposiciones orales, o debates del grupo de alumnos presentes en el aula, debe seguir fácilmente los temas tratados, debiendo también ser capaz de evaluar críticamente lo que escucha.

En la Geometria del Plano y del Espacio, se puede potenciar este objetivo, pues el alumno debe interpretar la lectura de problemas geométricos, con posiciones de planos, rectas, ect. desde un punto de vista crítico.

3. Desarrollar la capacidad de expresión en los contextos relativos a los temas de la asignatura:

Debe adquirir el vocabulario matemático adecuado tanto en lo que se refiere a conceptos, como a procedimientos y estrategias, en este sentido, debe ser capaz de enunciar correctamente un teorema, o cualquiera de las propiedades básicas establecidas en los contenidos, con rigor y sencillez.

Los Teoremas básicos de Rouché-Fröbenius, la Regla de Cramer, en Ecuaciones Lineales, o la Desigualdad de Cauchy- Schwartz en Geometria del Espacio, o los Teoremas de Rolle, La­ grange, Cauchy, L'Hópital en Análisis, etc., han de ser expuestos de forma clara e inequívoca. No puede valer aquello de que "lo sé, pero no sé decirlo" tan habitual en tiempos pasados.

4. Desarrollo de la capacidad de análisis y de sintesis:

Es decir, debe ser capaz de analizar, fragmentando en partes el objeto de estudio, secuenciando los pasos a modo de algoritmo, tanto como de buscar relaciones y propiedades usando razonamientos inductivos o deductivos, por una parte, y por otra, debe ser capaz de integrar los resultados del análisis en una representación más compleja del objeto estudiado. El tema de Representaciones Gráficas de Funciones es un ejemplo apropiado para el logro de este objetivo.

5. Desarrollar la capacidad de investigar dentro de la matemática y de comunicar el trabajo realizado:

A pesar de la dificultad que entrañaria una investigación en mátemáticas a este nivel, pensamos que lo que se trata aqui es de crear un hábito, una disposición hacia el ensayo de lo nuevo, hacia la extensión de una teoría hacia otro ámbito cercano, hacia la posibilidad de generalizar un procedimiento, o de establecer alguna relación o relaciones con un objetivo concreto, de abordar problemas que no admitan solución trivial a partir de los modelos previamente elaborados, etc. Los problemas de Geometria del Espacio son, a juicio del autor, adecuados para este objetivo.

6. Aprender a aprender: desarrollo de la capacidad de evaluar los propios procesos de pensamiento: Es en este objetivo donde culminan los objetivos anteriores. Todo el trabajo se orienta hacia este objetivo, que ha de estar presente en todo el proceso de enseñanza/aprendizaje. El alumno ha de desarrollar actitudes nuevas, como la de asumir su protagonismo en el propio aprendizaje o la de criticar y evaluar los productos de su propio esfuerzo.

b) Objetivos de actitudes y valores: Podemos resumir de la siguiente forma, de acuerdo con los diseños curriculares, y con los objetivos referidos antes sobre estrategias y destrezas cognitivas:

1. Actitud investigadora que potencie el aprendizaje autónomo y la creatividad.

2. Desarrollo de una actitud abierta y crítica.

3. Actitudes de cooperación y solidaridad.

4. Actitud favorable hacia la matemática.

c) Objetivos relativos al ámbito conceptual:

En el ámbito conceptual, teniendo en cuenta que este curso es el último de la etapa, está claro que ha de ser:

1. Adquisición de los conceptos básicos, los procedimientos y los métodos propuestos para el bachillerato.

2. Establecimiento de las relaciones entre los Núcleos Temáticos de la asignatura entre si, y también con los Núcleos Temáticos de la asignatura de Matemáticas del Primer curso de esta modalidad, de forma que la Matemática del Bachillerato se entienda como un todo, fuertemente relacionado.

4.2.2. CONCRECION Y SECUENCIACION DE LOS CONTENIDOS:

Se concretan a continuación con un cierto detalle los contenidos de los Núcleos Temáticos propuestos para la asignatura tratando de cubrir los objetivos propuestos.

En cuanto a la secuenciación de los mismos, se ha tenido en cuenta:

1. La secuencia lógica subyace en la misma estructura de los contenidos.

2. No se intenta la consecución de los objetivos de la asignatura de manera lineal, sino que los contenidos se secuencian de manera recursiva, que permite referirse a un mismo tipo de objetivos con un grado de profundización y de amplitud diferente a lo largo del proceso de desarrollo de los mismos.

3. Es inmediato que el inicio de cada Núcleo (Combinatoria, Ecuaciones, Geometria y Analisis) es tal que permite tomar facilmente conciencia de la continuidad de los contenidos y del carácter global de la asignatura, asi como puntos de referencia desde un Nucleo Temático al Núcleo anterior (Desde los determinan­tes hacia la combinatoria, desde la geometria hacia las ecuaciones lineales, desde el analisis a la geometria).

TEMA 1. COMBINATORIA

1.1. Factorial. Números combinatorios.

1.2. Propiedades básicas. Triángulo de Tartaglia.

1.3. Permutaciones. Permutaciones con repetición.

1.4. Variaciones. Variaciones con repetición.

1.5. Combinaciones. Combinaciones con repetición.

1.6. Aplicaciones a la probabilidad.

1.7. Ejercicios. Ejercicios de repaso.

TEMA 2. DETERMINANTES

2.1. Determinante de una matriz.

2.2. Desarrollo del determinante de una matriz por los adjuntos de una linea.

2.3. Propiedades de los determinantes.

2.4. Rango de una matriz. Teorema del rango.

2.5. Ejercicios. Ejercicios de repaso.

TEMA 3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

3.1. Discusión de sistemas lineales. Teorema de Rouché-Fröbenius.

3.2. La Regla de Cramer.

3.3. Discusión de sistemas lineales con uno o varios parámetros.

3.4. Ejercicios. Ejercicios de repaso.

TEMA 4. LA GEOMETRIA ANALITICA DEL PLANO

4.1. Lugares geométricos. Puntos. Graficas.

4.2. Las secciones de un cono. Cónicas.

4.3. Circunferencia.

4.4. Parábola.

4.5. Hipérbola.

4.6. Recta y punto.

4.7. Incidencias.

4.8. Ejercicios. Ejercicios de repaso.

TEMA 5. EL ESPACIO AFIN TRIDIMENSIONAL

5.1. Introducción: el espacio vectorial (V;R);

5.2. El espacio afin asociado a un espacio vectorial. Espacio Afin (E;R).

5.3. Sistemas de Referencia Afin.

5.4. La Recta Afin.

5.5. El Plano Afin.

5.6. Posiciones relativas de rectas. Posiciones relativas de planos.

5.7. Ejercicios. Ejercicios de repaso.

TEMA 6. EL ESPACIO AFIN EUCLIDEO TRIDIMENSIONAL

6.1. Producto Escalar. Propiedades.

6.2. Norma. Propiedades.

6.3. Vectores unitarios y ortogonales.

6.4. Producto vectorial. Propiedades.

6.5. Producto mixto. Propiedades.

6.6. Aplicaciones a problemas geométricos:

a) Area del triángulo. Volumen del tetraedro.

b) Ecuación de un plano. Vector normal a un plano. Ecuación normal de un plano.

c) Angulo de dos rectas. Angulo de recta y plano. Angulo de dos planos.

d) Distancia de un punto a un plano. Distancia de un punto a una recta.

e) Distancia entre dos rectas que se cruzan. Perpendicular Común.

6.7. Ejercicios. Ejercicios de repaso.

TEMA 7. FUNCIONES CONTINUAS

7.1. Topologia de la recta real. Intervalos. Acotaciones. Entornos.

7.2. Limite de una función en un punto. Continuidad en un punto. Discontinuidades.

7.3. Propiedades de las funciones continuas en un punto.

7.4. Propiedades de las funciones continuas en un un intervalo.

7.5. Ejercicios. Ejercicios de repaso.

TEMA 8. FUNCIONES DERIVABLES

8.1. Derivada de una función en un punto. Derivadas laterales.

8.2. Teorema de continuidad de las funciones derivables.

8.3. Teorema de Rolle.

8.4. Teorema de Lagrange.

8.5. Teorema de Cauchy.

8.6. Regla de L'Hôpital.

8.7. Ejercicios. Ejercicios de repaso.

TEMA 9. DESARROLLOS DE TAYLOR

9.1. Comportamiento local de una función. Aproximación de funciones por polinomios. Los polinomios de Taylor.

9.2. La Fórmula de Taylor. El Teorema de Taylor con resto de Lagrange.

9.3. Desarrollos de Taylor. Desarrollos de Mac-Laurin.

9.4. Ejercicios. Ejercicios de repaso.

TEMA 10. GRAFICAS

10.1. Crecimiento y decrecimiento.

10.2. Concavidad y convexidad.

10.3. Máximos y mínimos relativos.

10.4. Cálculo de asintotas.

10.5. Trazado de gráficas.

10.6. Ejercicios. Ejercicios de repaso.

TEMA 11. LA INTEGRAL DEFINIDA

11.1. El problema del área. Particiones de un intervalo.

11.2. Las sumas de Riemman.

11.3. Definición de Integral. Signo.

11.4. Propiedades elementales.

11.5. El Teorema Fundamental del Cálculo Integral. Regla de Barrow.

11.6. Otras propiedades de la Integral Definida.

11.7. Ejercicios. Ejercicios de repaso.

TEMA 12. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

12.1. Aplicación al cálculo de áreas planas.

12.2. Aplicación al cálculo de volúmenes de revolución.

12.3. Aplicación al cálculo de la longitud de un arco de curva.

12.4. Aplicaciones físicas y tecnológicas.

12.5. Ejercicios. Ejercicios de repaso.

TEMPORALIZACION DE LA SECUENCIA DE LOS CONTENIDOS:

Considerando un horario de cuatro horas semanales, podemos establecer, como ejemplo, la temporalización estimable para el desarrollo del proceso, y estimando el tiempo real de actividad docente, es decir, suprimiendo los periodos vacacionales habituales:

Horas disponibles:

1 al 31 de octubre	17
1 al 30 de noviembre	15
1 al 22 de diciembre	10
8 al 31 de enero	14
1 al 28 de febrero	15
1 al 31 de marzo	14
1 al 10 de abril	04
20 al 30 de abril	06
2 al 31 de mayo	14
TOTAL HORAS REALES	109

Distribución de los temas:

del 1 de obtubre al 22 de diciembre (42 horas):	horas
Combinatoria	11
Determinantes	11
Sistemas de Ecuaciones	12
Ejercicios y pruebas	08
Total	42
del 8 de enero al 10 de abril (47 horas):	horas
Geometría del plano	06
Geometría afín	13
Geometría euclídea	14
Funciones continuas	05
Funciones derivables	05
Ejercicios y pruebas	04
Total	47
del 20 de abril al 31 de mayo (20 horas):	horas
Desarrollos de Taylor	04
Gráficas	04
Integral	05
Aplicaciones integral	03
Ejercicios y pruebas	04
Total	20

4.2.3. PROCEDIMIENTOS METODOLOGICOS:

Veamos en primer lugar las pautas metodológicas básicas para todo el Bachillerato, a fin de insertar los procedimientos metodológicos propios de la matemática en esta asignatura en el contexto general de la Etapa:

Pautas Metodológicas básicas para el Bachillerato:

a) Respecto a todo el proceso de enseñanza-aprendizaje:

1. Interesar al alumno en el objeto de estudio que se vaya a trabajar.

2. Identificar y explicitar las ideas que ya poseen los alumnos sobre el objeto de estudio.

3. Contrastar las ideas previas de los alumnos.

4. Introducir conceptos y procedimientos.

5. Proporcionar a los alumnos oportunidades para poner en práctica sus nuevos conceptos, procedimientos y actitudes.

6. La reflexión sobre lo aprendido.

b) Respecto al papel del alumno:

Considerar al alumno pieza decisiva en el proceso docente supone necesariamente:

1. Partir de las concepciones previas de los alumnos para plantear cualquier tipo de estrategia.

2. Establecer mecanismos para que el alumno asuma, de forma práctica y eficaz, su papel como responsable de sus propios aprendizajes, intentando, ante todo, superar el bloqueo inicial que dificulta el cambio hacia una actitud positiva de curiosidad científica y de interés por los aprendizajes.

3. Proporcionar al alumno posibilidades no solo de participar en el desarrollo de las actividades del aula sino también de decidir en asuntos relacionados con la dinámica del proceso de enseñanza (y con la dinámica escolar en general).

4. Crear un clima en el aula que posibilite realmente la participación del alumno en las diferentes dimensiones citadas, asi como el ejercicio de las libertades y valores contemplados en los principios didácticos.

De los aspectos citados se infiere que no son indiferentes asuntos como la organizacion del trabajo en el aula -trabajo individual, trabajo en pequeños grupos, trabajo conjunto del aula-, conceder mayor o menor relevancia al tipo de recursos concretos para el aprendizaje, empleo de determinados niveles de lenguaje (introducción progresiva de vocabulario científico, por ejemplo), etc. Este tipo de decisiones habrá de ser tomada en cada caso en coherencia con el diseño curricular en que se encuadre el desarrollo de las actividades y en la interacción con la realidad concreta del aula a la que se aplique.

Desde esta óptica, no solo es importante en el aprendizaje la obtención de resultados concretos, sino la vinculación de los mismos con el proceso que el individuo ha seguido para conseguirlo. Esta orientación del aprendizaje del alumno no tiene, pues, un carácter lineal sino fundamentalmente interactivo.

c) Respecto al papel del profesor:

1. Preparar y programar (fundamentar, seleccionar, secuenciar, ...) la diversidad de actividades en que se materializa el proceso de enseñanza.

2. Crear, en interacción con los alumnos, un clima de clase que potencie las posibilidades de aprendizaje.

3. Facilitar y promover el planteamiento de problemas que estimulen un aprendizaje basado en actitudes de búsqueda.

4. Elaborar -o adoptar- mecanismos concretos para la explicitación de los esquemas de los alumnos, en determinados momentos del proceso.

5. Coordinar, incetivar y garantizar la continuidad del trabajo del aula durante la realización de diversas actividades.

6. Conocer de forma sistemática y valorar la realidad del aula, para remodelar y adaptar la programación inicial a la vista de las informaciones obtenidas en el proceso de evaluación.

7. Integrar su actuación en el proceso global desarrollado por el equipo docente.

Procedimientos metodológicos para la asignatura de Matemáticas de segundo curso:

Veamos a continuación para esta asignatura las pautas metodológicas básicas, la introducción de conceptos y procedimien­ tos, y el análisis del resultado del aprendizaje:

a) Las pautas metodológicas básicas:

a.1. Motivación: interesar al alumno en el objeto actual de estudio.

- En Combinatoria:

Se pueden proponer problemas de resolución no inmediata, en relación con los números combinatorios, triángulo de tartaglia, ejemplos prácticos de permutaciones de objetos, de variaciones y de combinaciones, problemas cotidianos de planteamiento corriente.

Se pueden mostrar textos de historia de la matemática sobre los primeros descubrimientos en combinatoria, binomio de Newton, etc., asi como textos con relaciones de ejercicios útiles.

Se puede plantear la utilidad de las Combinaciones para el cálculo de Probabilidades, núcleo visto en la asignatura anterior, ampliando el campo de utilización de la probabilidad.

Se puede mostrar cómo la combinatoria sirve para establecer, mediante el concepto de signatura de una permutación, la defini ción de determinante de una matriz cuadrada, etc..

- En Determinantes y Ecuaciones Lineales:

Una forma de interesar a los alumnos es recordar la utilidad de los sistemas lineales en problemas de la vida corriente, planteandose la posibilidad de discutir previamente la posibilidad de resolución del sistema, la posibilidad de cambiar alguno de los coeficientes para que admita más de una solución, etc.

Textos de historia de la Matemática ilustrarian brevemente los trabajos de Rouché, de Cramer, Gauss, etc.

- En Geometria del Plano y del Espacio:

El carácter intuitivo que tiene la geometria plana que se imparte en este nivel, lo mismo que la geometria del espacio tridimensional, hace que sea extraordinariamente atractiva para los alumnos, desde la experiencia del autor de este trabajo, y su conexión con el bloque anterior, Ecuaciones Lineales, es evidente, pues permite utilizar los conocimientos de sistemas lineales para discutir posiciones relativas de rectas, planos, etc. Permite resolver problemas de incidencia, paralelismo, etc. de forma rápida y efectiva.

Textos de historia de la matemática adecuados para este núcleo temático, serian los relativos a los axiomas euclidianos y la discusión planteada hasta el siglo XIX sobre la evidencia o no del axioma quinto de las paralelas, que daria origen a una nueva forma de concebir la geometria.

Se puede mostrar cómo es posible calcular el área de un triángulo a partir del módulo de un producto vectorial, o el volúmen de un paralelepípedo desde un producto mixto, como expo- sición de la evidencia de la funcionalidad de estos conceptos y procedimientos.

- En Análisis:

Plantearemos problemas de topologia de la recta, de con­ tinuidad y derivabilidad de funciones, a fin de forzar al debate que permita introducir conceptos y procedimientos.

Se hablará de la imposibilidad de calcular un área limitada por una curva con los métodos elementales habituales de la en- señanza secundaria obligatoria. Se indicará como la forma de un terreno a medir tiene a menudo formas no poligonales, etc., para iniciar el debate que permita introducirnos en el concepto de la integral Riemman.

Los textos de historia que se podrian utilizar tratarian de los trabajos de Euler, Lagrange, Cauchy, Rolle, L'Hôpital, etc.

Se puede plantear la insuficiencia de los procedimientos conocidos en el curso anterior para el cálculo de límites, que permitirán generalizar el estudio mediante el teorema de la Regla de L'Hôpital, etc.

a.2. Ideas previas: detectarlas y ponerlas en cuestión.

Las ideas previas de los alumnos sobre el objeto de estudio suelen diferir de los contenidos de la programación e influyen en la comprensión e interpretación de los conceptos y procedimientos, tanto en el núcleo temático de la Combinatoria, como en el de Ecuaciones Lineales, Geometría y Análisis.

Se trata de detectarlas y ponerlas en cuestión. Para ello, es necesario indagar acerca de:

1) Los procedimientos que usan los alumnos para mani­pular los conceptos.

2) La caracterización de cualquier método que a priori afirmen conocer.

3) Las representaciones de estos métodos en ámbitos extramatemáticos.

La puesta en cuestión de las ideas previas puede realizarse mediante métodos del tipo de los siguientes:

1) La contrastación de ejemplos erróneos entre los propios alumnos y el comentario de las respuestas, efectivo en los temas de ecuaciones lineales y de geometria del plano y también del espacio tridimensional.

2) La discusión en grupo, si es conducida hacia la provocación de conflictos cognitivos, permite el descubrimiento de conceptos nuevos y su confrontación con los conceptos anteriores.

3) El uso de contraejemplos presenta también eficacia a la hora de rebatir afirmaciones erroneas, como falsas demostraciones universales, etc.

a.3. Concepción reticular del objeto que se estudia.

Al iniciar el estudio de un objeto es necesario que queden explicitos tanto el soporte conceptual que los alumnos pueden tener en ese momento, como el soporte intelectual que se necesita para afrontar con éxito el estudio del objeto de referencia.

Pero, además, se debe explicitar el entramado, el réticulo, de las relaciones conceptuales del objeto de estudio con otros conocimientos y objetos estudiados. Es decir, se ha de tener una concepción reticular de lo que se estudia, tanto por el profesor, como también, por los alumnos.

a.4. Proporcionar la posibilidad de practicar nuevos conceptos, procedimientos y actitudes.

Está claro el valor de la práctica en esta disciplina. Sin la práctica no podria construirse las nociones de análisis matemático, ni la geometria afin, ni, pensamos, ninguna rama de la matemática. Es lo que se ha dado en llamar "aprendizaje en la acción", que permite explicitar, evidenciar las conexiones entre los diferentes conceptos, por una parte y, por otra, localizar aplicaciones nuevas a problemas de la vida corriente.

En otro nivel, permite adquirir una idea general de la posibilidad de aplicar conceptos y procedimientos de geometria y del análisis matemático a otros campos como la fisica, la quimica, la sociologia, etc.. Se trata de clarificar a los alumnos algunos grandes ámbitos de aplicación, explicitando el papel de la matemática en el proceso.

a.5. Reflexionar sobre lo aprendido.

El alumno ha de reflexionar sobre la funcionalidad de lo aprendido, valorando críticamente su utilidad tanto como el propio entramado conceptual del objeto de estudio.

Ha de establecer si es grande o no la diferencia entre lo que sabe realmente y lo que se le propuso aprender. Si esta diferencia fuera grande, se producirá normalmente una actitud de abandono por desaliento. El papel del profesor, en esta situación, consistirá en aportar una visión de posibilidades al alumno para realizar la tarea propuesta. Esta misma aportación ha de ser, para el alumno, una hipótesis de trabajo que debe verificar.

b) Introducción de conceptos y procedimientos:

b.1. Métodos de Enseñanza.

Fundamentalmente, el enfoque metodológico global ha de ser la consideración de que las actividades que se están llevando a cabo responden al intento de resolución de situaciones problemáti­ cas, y con ellas se pretende elaborar respuestas a los problemas explicitados. Esto ocurre en cualquiera de los núcleos temáticos de la asignatura. Los alumnos emitirán hipótesis, elaborarán estrategias y actuarán, debatirán entre ellos y con el profesor y elaborarán sus propias conclusiones sobre el objeto de estudio.

Según los diferentes momentos y contextos ha de actuarse, sin embargo, con método variable:

- Pueden utilizarse métodos expositivos en determinados momentos del aprendizaje. En una última fase, llamada "integración", en la que los alumnos y el profesor revisan el trabajo que se ha realizado, el profesor puede hacer exposición de resúmenes globales sobre lo aprendido, sin plantear conflicto cognitivo.

- En otros casos, como en problemas de enunciado abierto de geometria, es útil apoyarse en un proceso inicial de investigación abierta o de resolución de problemas.

b.2. Organización de las actividades.

Se organizan ejercicios prácticos en cada uno de los temas secuenciados en el diseño de la asignatura. La resolución de problemas es uno de los nucleos transversales de los nucleos de Combinatoria, Ecuaciones lineales y determinantes, Geometria del plano y del Espacio, y Análisis Matemático.

Los Ejercicios correspondientes al tema se van planteando y resolviendo en el grupo, durante la hora de la clase, de acuerdo con las pautas metodológicas expuestas antes, es decir, unas veces se plantearán para interesar al alumno en el objeto de estudio, y otras veces para proporcionar la posibilidad del "aprendizaje en la acción", ya mencionado en su momento.

Pero al final de cada tema se ha incluido un apartado "Ejercicios. Ejercicios de repaso", que tiene la doble misión de, por una parte, afianzar conceptos y procedimientos del tema de referencia, asi como evidenciar la utilidad de tales conceptos, procedimientos y actitudes para resolver problemas corrientes (también es un bloque temático transversal en la asignatura el de la Utilidad), y por otra parte, pensamos que tal conjunto de ejercicios de repaso sirve para potenciar la pauta metodológica de "Reflexionar sobre lo aprendido", mencionada antes.

En cada una de las unidades temáticas, se concede un gran valor a la organización de la actividad, para lo cual se tiene en cuenta:

- Identificar y secuenciar claramente lo que debe ser apren- dido.

- Distinguir entre hechos, estrategias, destrezas, es­ trategias generales, conceptos y "actitudes y valores".

- Graduar de forma apropiada el grado de complejidad y formalización.

- Favorecer la comunicación teniendo presente la dinámnica del aula.

- Observar el desarrollo del trabajo en el aula. - Evaluar regularmente, con los alumnos, el proceso de enseñanza-aprendizaje.

c) Resultados del aprendizaje.

Los resultados del proceso de enseñanza-aprendizaje pueden ser diversos, lo cual ha de llevar necesariamente a tener muy en cuenta el tipo de estrategia empleado. Veamos algunas posibilida­ des:

1. Los conocimientos que tenia el alumno se mantienen sin modificaciones. El sistema conceptual no evoluciona y las nuevas ideas son rechazadas; sin embargo, al incorporarse al sistema parte de la terminologia se da la apariencia de un cierto tipo de aprendizaje.

2. El nuevo conocimiento es incorporado por el alumno, pero de forma "compartimentada", sin que se produzca interacción con los esquemas anteriores. El alumno mantiene dos concepciones sobre el mismo asunto, lo que le permitirá utilizar la "adecuada" en el contexto escolar sin verse obligado a reestructurar el conjunto de sus ideas.

3. Los esquemas de conocimiento que tenia el alumno y el representado por la nueva información adquirida, se integran en algunos aspectos, ya sea porque comparten conceptos o porque consideran, en alguna medida, el mismo tipo de explicaciones.

4. El conocimiento previo del alumno se integra en la nueva información bien sea mediante un proceso de acumulación cuando no hay incompatibilidad, o bien mediante un proceso de reestruc­ turación cuando hay incompatibilidad. En ambos casos se plantea una perspectiva coherente.

4.2.4. ORGANIZACION DE LA EVALUACION:

Consideramos el caracter procesual y formativo que tiene la evaluación en esta etapa y planteamos una organización de la evaluación en Pruebas Abiertas, las cuales, para que tengan la eficacia y la sistematización adecuada pensamos como efectivo el modelo propuesto en el Diseño Curricular Base de la Consejeria de Educación:

1. Tipificación de los problemas, realizada por el Departamento de Matemáticas del Centro.

2. Tipíficación de las tareas a realizar por las personas a las que se le plantean las situaciones problemáticas, realizada también por el conjunto de los profesores del Departamento de Matemáticas.

3. Una correspondencia entre los problemas matemáticos y las tareas que corresponde realizar en cada uno de ellos, de forma que permita decidir si, dado el problema y la correspondiente tarea resolutoria, hasta donde el alumno ha llegado en su trabajo de resolución.

4. Una reflexión del profesor y del alumno sobre los procesos puestos en juego en estos problemas.

En lo que respecta a la tipificación de los problemas, depen­ den, naturalmente, de los núcleos temáticos a evaluar en el proce­ so:

Ejercicios de Combinatoria:

- Se pueden plantear ejercicios de reestructuración, de reconocimiento y también problemas algorítmicos en una primera fase, aunque pensamos que en las aplicaciones a la probabilidad pueden plantearse ya problemas de enunciado abierto.

Ejercicios de Determinantes y Sistemas de Ecuaciones Lineales:

- En lo relativo al tema de determinantes, deben primar los ejercicios de reestructuración, de reconocimiento de las propiedades de los determinantes y de las propiedades del rango de una matriz.

- Los ejercicios de discusión de sistemas de ecuaciones lineales con uno o varios parámetros, tienen fases precisas que permiten algoritmizar sus pasos, pero fundamentalmente han de ser ejercicios de reconocimiento de la utilidad del gran teorema de Rouché o la regla de Cramer. Pueden, no obstante, plantearse ejercicios de enunciado abierto, o de aplicación, pero pensamos que la aplicabilidad de estos temas se hace patente en el estudio de la geometria euclidea.

Ejercicios de Geometria:

- Es posible plantear aqui problemas de reestructura- ción, de reconocimiento y problemas de enunciado abierto. Se presta mucho el estudio de la geometria a los problemas de "feliz idea", que permite establecer problemas-tema cuando la situación lo aconseje.

Ejercicios de Análisis Matemático:

- Se pueden plantear problemas de reestructuración, de reconocimiento, problemas de tipo algoritmico (derivación, cálculo de primitivas) y, por supuesto, problemas de enunciado abierto.

En_lo_que respecta_a_la_tipificación de las_tareas_a realizar por los alumnos para resolver los problemas:

Tareas de reconocimiento:

Al alumno sólo se le pide el reconocimiento de la respuesta correcta a partir de una información que se le presente previa- mente. Son preguntas de respuesta múltiple posible, o bien la petición de sustituir un valor numérico en una expresión, etc.

Tareas de memorización:

Consisten en la reproducción o réplica textual, de forma verbal o escrita, de un conjunto de información recibida desde los contenidos de la asignatura.

Tareas de resolución de problemas de rutina:

Aplican los alumnos fórmulas y reglas de tipo standar, fiables para el objeto de estudio, de antemano establecidas desde los mismos contenidos. No implican necesariamente que los alumnos que utilizan estas fórmulas o reglas sepan el porqué su aplicación produce una respuesta correcta.

Tareas de comprensión reconstructivas:

Estos ejercicios ponen en juego la capacidad de comprender una información cuando se presenta en forma de conceptos o ideas.

Tareas de comprensión reconstructivas globales:

Aqui la exigencia consiste en situar la información en el marco de las ideas y procedimientos que estructuran todo el entra­ mado conceptual de la asignatura.

Tareas de comprensión constructivas:

Se le exigue al alumno la aptitud para plantearse nuevas preguntas a partir de la información recibida y construir significados nuevos y originales para él. Son las más apropiadas para fomentar la creatividad intelectual de los alumnos.

En lo que respecta a la correspondencia de las tareas realizar con los problemas:

Esta correspondencia es cambiante, cambia con el curso escolar, depende del grupo de alumnos y del caracter específico del Centro. Es necesario tener en cuenta estos factores y, por consiguiente, el contexto general en el que se desarrolla la actividad del Centro

En lo que respecta a la reflexión profesor-alumno:

Esta reflexión resulta realmente necesaria si partimos de las pautas metodológicas básicas expuestas antes, en las que tenemos en cuenta tanto los resultados que se obtienen como la forma de obtenerlos.

Consideramos una temporalización adecuada para las pruebas abiertas de evaluación aquella que permita evaluar globalmente el objeto de estudio en cada caso:

Pruebas de evaluación referentes a Combinatoria, una vez desarrollados en el aula los correspondientes contenidos, y realizadas las actividades prácticas programadas.

Pruebas de evaluación referentes a Determinantes y Ecuacio­ nes lineales, al finalizar el desarrollo de los temas, junto con las correspondientes actividades de los alumnos.

Pruebas de evaluación referentes a Geometria Plana y del Espacio. Pensamos que sería conveniente una prueba abierta de los contenidos de geometria del plano, antes de pasar al desarrollo de los contenidos de geometria del espacio tridimensional.

Pruebas de evaluación referentes a Análisis Matemático, al final de los temas del núcleo, sin menoscabo de la posibilidad de plantear alguna prueba abierta parcial sobre continuidad de fun- ciones, derivabilidad, o aspectos locales de funciones reales, antes de proponer una prueba global de todo el núcleo.

Tendremos en cuenta, además, los puntos de anclaje de los diferentes núcleos temáticos de la asignatura con los núcleos anteriores, de forma que esto se manifieste también en la orga­ nización de cada prueba, es decir, en cada prueba referente a los contenidos de un núcleo temático, se procurará que el alumno utilice en su tarea conocimientos referentes a núcleos temáticos anteriores.

La valoración de los ejercicios de cada prueba pensamos hacerla, perfectamente de acuerdo con lo propuesto en el Diseño Curricular, valorando de diferente manera los tipos de tarea necesarios para realizar los problemas.

Asi, suponiendo una prueba abierta de seis ejercicios o problemas, cada uno que exija una tarea de cada uno de los seis tipos expuestos antes, puntuariamos de la manera siguiente:

	máximo
ejercicio que implica sólo tarea de reconocimiento:	0'5
ejercicio que implique sólo tarea de memorización:	0'5
ejercicio que implique sólo resolucion de rutina:	1'5
ejercicio que implique tarea reconstructiva:	4'0
ejercicio que implique tarea recontructiva global:	3'0
ejercicio que implique solo tarea constructiva:	0'5

Aunque, a juicio del autor de este estudio, seria posible valorar en mucha mayor medida (incluso hasta 4'0 ó 5'0) los ejercicos prácticos que necesiten la realización de una tarea constructiva de la envergadura adecuada, por lo que implicarian de originalidad, creatividad y pensamiento divergente en el alumno. En este sentido, pensamos en la posibilidad de pruebas abiertas de un mismo tipo, siempre con el conocimiento previo de los alumnos de lo que se pretende con su realización.

DOCUMENTACION:

1. L.O.G.S.E, Ley Orgánica 1/1990, de 3 de octubre. (B.O.E. del 4 de octubre).
2. REAL DECRETO 1700/91, de 29 de noviembre, por el que se establece la estructura del Bachillerato. (B.O.E. del 2 de diciembre).
3. "BACHILLERATO: ESTRUCTURA Y CONTENIDOS". Dirección General de Renovación Pedagógica. Ministerio de E- ducación y Ciencia. Madrid. 1991.
4. PROYECTO CURRICULAR DE ASPECTOS GENERALES. 16-18. Sevilla, 1989. Junta de Andalucia. Dirección General de Renovación Pedagógica.
5. DISEÑO CURRICULAR DE MATEMATICAS. 16-18. Sevilla, 1989. Junta de Andalucia. Dirección General de Renovación Pedagógica.

Carlos S. CHINEA
casanchi@teleline.es
06 noviembre 2004