Prefacio
No pretende ser naturalmente, un artículo de consulta, sino un humilde aporte al afán de lectura que cada ser humano lleva
dentro, por lo cual se ha tratado de que llegue a la inmensa mayoría de las personas con el mínimo necesario de conceptos
básicos sobre matemática y geometría, que se especifican en introducción.
Se ha consultado para su confección, además de los textos que figuran en bibliografía, sitios muy interesantes, nombrarlos a
todos aquí sería injusto por riesgo del olvido de alguno, por lo que si ud está interesado en ellos, le recomiendo que ubique
la palabra “geometría proyectiva” en un motor de búsqueda en Internet, donde podrá elegir entre la amplia gama de páginas
existentes.
Esperando que le sea de vuestro agrado, le invito a que comience con la lectura.
Introducción
Para el diseño del presente texto se creyó pertinente tomar un fragmento del libro “Estudio de las geometrías”
de Howard Eves, que intitulado bajo el nombre de “un poco de historia….” ; precede el desarrollo del mismo.
A continuación se introducen los conceptos, en forma gradual bajo los títulos de:
Un poco de historia ...
Si se pusiera una pantalla transparente entre el ojo del artista y el objeto, estos rayos de luz cortarían a la pantalla
en una colección de puntos. Esta colección, que puede llamarse imagen, o proyección del objeto sobre la pantalla, es
la que el artista debe pintar en su papel o lienzo para que el observador de la pintura reciba la misma impresión de
la forma del objeto que recibiría cuando mirase directamente a éste. Como el papel o el lienzo no es una pantalla
transparente, la tarea de dibujar con exactitud la proyección deseada presenta un problema real al artista.
En un esfuerzo para producir cuadros más reales, los artistas del Renacimiento se interesaron profundamente en
descubrir las leyes que rigen la construcción de la proyección del objeto sobre una pantalla, y, en el siglo
quince, varios de ellos crearon los elementos de una teoría fundamental de una perspectiva geométrica.
La teoría de la perspectiva se extendió considerablemente a principios del siglo diecisiete por un pequeño grupo
de matemáticos franceses, cuyo animador, Gerard Desargues, influido por las necesidades crecientes de los artistas
y arquitectos de crear una teoría más profunda de la perspectiva, lo llevó a publicar en París hacia el año 1639, un
notable tratado original sobre las secciones cónicas en que aprovechó la idea de proyección. Pero este trabajo
fue tan despreciado por la mayoría de los demás matemáticos de aquella época, que pronto se olvidó y todas las
copias de la publicación desaparecieron. Dos siglos más tarde, cuando el geómetra francés Michel Chasles
escribió una historia de la geometría, no tuvo modo de estimar el valor del trabajo de Desargues. Sin embargo, seis años
después, en 1845, Chasles tuvo la suerte de encontrar una copia manuscrita del tratado de Desargues, hecho por uno
de sus seguidores, y desde aquella época el trabajo fue reconocido como uno de los clásicos en el desarrollo primitivo
de la geometría proyectiva.
Hay varias razones para el desprecio inicial del pequeño volumen de Desargues.
Fue eclipsada por la más elástica geometría analítica introducida por Descartes dos años antes. Los geómetras
generalmente o bien desarrollaban esta nueva herramienta poderosa o trataban de aplicar los infinitesimales a
la geometría. Además, desafortunadamente, Desargues adoptó un estilo y una terminología que eran tan excéntricas
que opacaron su trabajo y desanimaron a otros de intentar adecuadamente la evaluación de sus realizaciones.
La reintroducción de las consideraciones proyectivas a la geometría no ocurrió sino hasta finales
del siglo dieciocho, cuando el geómetra francés, Gaspard Monge creó su geometría descriptiva. Esta ciencia, que
contiene una forma de representar y analizar objetos tridimensionales por medio de proyecciones sobre ciertos
planos, tuvo su origen en el proyecto de fortificaciones. Monge fue un maestro muy inspirado y entre
algunos de sus alumnos más renombrados están: Carnot, Brianchon y Poncelet.
El resurgimiento real de la geometría proyectiva fue impulsado por Poncelet en su
obra “Traité des propiétés projectives des figures” en París hacia 1822.
Matemáticos como Gergonne, Brianchon, Chasles, Plücker, Steiner, Staudt, Reye, Cremona, continuaron trabajando
en la materia, clasificando a la geometría en métrica y descriptiva. Esta última se ocupa únicamente de las posiciones
entre los elementos.
Objeto de estudio de la Geometría Proyectiva
Coordenadas homogéneas de un elemento
Se sabe que en un eje de coordenadas cartesianos existe una biyección entre los puntos del plano y el par
de números reales (x,y) denominados coordenadas de dicho punto. Si en vez de asignarle una dupla a cada punto
se le asigna una terna (x,y,z) obviamente se deduce que la tercer componente no representa necesariamente
un tercer eje pues se estaría trabajando con dimensiones mayores que la representación que se tiene en estudio (el plano).
Naturalmente que no se está despreciando el caso particular de que en el plano la tercera componente es nula ni que
el mismo admite una situación en el espacio, no hay que perder de vista
que la situación en estudio es la de un punto sobre el plano y para ello sólo es necesario remitirnos a dos dimensiones.
Pues entonces, la aparición de una tercer coordenada no es de forma “independiente”, sino que se vincula
con la primera y segunda para generar dos nuevas componentes (X,Y) definidas de la siguiente forma: X= x/z Y=y/z.
Obsérvese que si z=1, las coordenadas homogéneas coinciden con las coordenadas “habituales”.
Elementos principales. Clasificación
Elemento generador: el punto.
Elemento generador: la recta.
Elemento generador: el plano.
Según el número de coordenadas homogéneas se clasificará dentro de las formas de primera especie
a la puntual, el haz de planos y el de rectas; como formas de segunda especie el plano puntual y el reglado, la radiación
de rectas y de planos. Las formas restantes pertenecen a la categoría de las de tercera especie.
Operaciones principales
Por proyectar desde un punto C (centro de proyección) una figura F, se entenderá
la determinación de las rectas o planos que pasan por C con los puntos y/o rectas que pasan por
F. La nueva figura obtenida se denominará habitualmente proyectante de la figura
F. En otras palabras, proyectar una figura compuesta por rectas y puntos, desde un punto C, es
considerar el plano formado por cada recta y C, o considerar la recta formada por cada punto
de F y por C (según el caso).
Por proyectar desde una recta r (eje de proyección) una figura G, se entenderá la determinación de
los planos que pasan por r con los puntos de G.
Por seccionar con un plano a (plano de sección) una figura F, se entenderá, la
consideración de las rectas ó puntos que a tiene en común con los planos ó rectas de la figura F.
La nueva figura obtenida se denominará habitualmente sección de la figura F.
Por seccionar con una recta r (transversal) una figura G integrada por planos significará la
consideración de los puntos en común con los planos de la figura G.
La proyección desde un punto y la sección con un plano habitualmente se toman como una sola
operación llamada, como lo sugiere la palabra, proyección de la figura sobre el plano mencionado.
Al comenzar con los más sencillos casos de proyección (entre un centro y los elementos de una puntual) se
obtiene un conjunto de rayos que tienen en común el centro, estableciéndose una correspondencia biyectiva entre
cada elemento de la puntual y el rayo que éste genera. Pero si justo se considera la recta paralela a la dada
¿ cómo se encuentra, si lo tiene, su correspondiente?. Se procura la respuesta a esta interrogante en el siguiente apartado.
Punto impropio de una recta
Esta idea es la que genera la aparición del punto impropio de una recta r que suele expresarse diciendo que
en un plano se consideran todas las rectas secantes y la dirección de r. En un lenguaje más coloquial dos rectas
coplanares tienen siempre un punto en común: propio si son secantes, impropio si son paralelas.
Surge naturalmente la pregunta ¿podrá extenderse estos conceptos al espacio? Se verá que si.
Recta impropia
Considérese un punto C exterior a un plano a. Se cumple que, para cada punto de a le corresponde una recta a
que es la proyección desde C de dicho punto. Asimismo, para cada recta de a, le corresponde por proyección
desde C el plano que con C determina. En ambos casos, debe incluirse en el estudio las rectas
paralelas a a y el plano paralelo, para poder hablar de una correspondencia biyectiva.
Exterior al plano a, por el punto C puede trazarse, y es única, la paralela a una recta que pertenezca a dicho plano. Como
se dijo anteriormente estas rectas tienen en común el punto impropio, de lo cual se deduce que una recta y un plano son
secantes siempre, en un punto impropio o propio, dependiendo de si es paralela o no. Dicho de otra forma: la
proyección desde C del punto impropio de una recta de un plano, es una recta paralela a él.
Tomando del plano a una recta con otra dirección a la anterior y razonando como en el párrafo anterior, puede
encontrarse por C otra recta paralela a a. Estas dos rectas, que
pasan por C, determinan un plano paralelo a a, sea b. Dadas
las infinitas direcciones distintas en el plano a, puede concluirse que cada una de ellas genera
un punto impropio común en a y b, de aquí que, dos planos
paralelos tienen en común un haz de puntos impropios o una puntual impropia, cuya recta sostén
se denominará RECTA IMPROPIA o recta en el infinito. Se deduce fácilmente que dos planos
son secantes siempre, en una recta impropia o propia, dependiendo de si son paralelos o no. Dicho de otra forma: la
proyección desde C de la recta impropia, es un plano paralelo a a.
Cabe acotar que, en un plano, la recta impropia es única.
Plano impropio
Por lo visto en los últimos párrafos, se observa que existen razonamientos análogos al plano y al espacio, con el
mero hecho de cambiar simplemente palabras. Esto no resulta ser una coincidencia caprichosa, sino que se rige por
una ley de dualidad que se pasa brevemente a explicar.
Leyes de dualidad
Por otra parte, según se ha observado, las proposiciones son enunciadas empleando el verbo “pertenecer”, decirlo de
esta forma permite cierta libertad en el uso del lenguaje, pero debe traducirse en cada caso al que usualmente se utiliza
en la geometría elemental, como en el ejemplo anterior, “dos rectas con un punto en común, determinan un plano que las
contiene” y su dual, “dos rectas distintas de un plano, tienen un punto en común”. Enunciarlo en forma métrica sería muy
tedioso con la ley de dualidad en el espacio. Si en cambio, se enuncia en forma gráfica, quedan absolutamente claras las
proposiciones duales.
Además esta ley de dualidad permite la equivalencia entre ambas, siendo suficiente comprobar una para que se verifique su
dual. A esta ley de dualidad del espacio, se le agregan dos más (que no serán tratadas aquí pues no son relevantes al
objeto de estudio) que son: la ley de dualidad plana (se intercambian las palabras recta y punto) y ley de dualidad en
radiación (se intercambian las palabras recta y plano)
Relación doble
En tanto que la relación doble de cuatro elementos A, B, C, D de una puntual: (ABCD)=(ABC)/(ABD)
También pueden definirse relación simple entre rectas de un haz y de planos. Pero no es tanta la importancia de su
definición frente a la propiedad que dice “la relación doble de cuatro rectas de un haz, es igual a la relación doble de
los cuatro puntos en que las rectas son cortadas por una transversal cualquiera que no pasa por el centro". [2]
Esto es posible generalizarlo a planos: “la relación doble de cuatro planos de un haz, es igual a la relación doble de
las cuatro rectas en que los mismos planos son cortados por un plano arbitrario, que no pasa por el eje del haz, y es
también igual a la relación doble de los cuatro puntos en que los mismos planos son cortados por una transversal
cualquiera, alabeada con el eje”. [3]
Proyectividades entre dos espacios
Las proyectividades así definidas, pueden clasificarse en colineaciones o correlaciones. Dos espacios son colineales
cuando se corresponden ordenadamente el mismo tipo de elemento (punto a punto, recta a recta, plano a plano) y los
que mutuamente se pertenecen entre ambos espacios.
Por otra parte si una proyectividad le hace corresponder respectivamente: puntos-rectas-planos del
espacio Õ a planos-rectas-puntos del espacio Õ' y a cada
elemento que se pertenece en el espacio Õ otro que también lo hace en el
Õ' se le denominará correlación.
Una proyectividad queda determinada cuando se proporcionan cinco elementos del mismo nombre (puntos o planos) en un espacio, tales que nunca cuatro pertenezcan a una forma de segunda especie y sus correspondientes en el otro espacio.
Cuando se corresponden los planos impropios se tiene a la afinidad como caso particular de colineación. Características especiales de las afinidades entre espacios proyectivos son: la conservación del paralelismo entre elementos de la misma dimensión y los volúmenes de paralelepípedos.
Un caso aún más particular, se revela en la igualdad de las medidas de los ángulos, correspondiéndose diedros iguales, se tratará de una semejanza.
En la semejanza, segmentos correspondientes están relacionados por una constante real k,
mientras que áreas de figuras semejantes lo hacen en k2 y volúmenes en k3.
Si k=1 los espacios se llaman iguales, pero debe distinguirse entre la directa y la inversa, según que los triedros coordenados (de ambos espacios) sean superponibles o no.
Puede probarse analíticamente que la cantidad de puntos unidos en una colineación, por lo general es de cuatro puntos unidos.
Si los cuatro puntos son coplanares y no están alineados tres de ellos, entonces la colineación no idéntica tiene los puntos de ese plano unidos y él coincide con su imagen en la colineación. También cumplirán esta propiedad las rectas que le pertenecen y los haces de planos.
Dicha transformación, también llamada homología, tiene una excepción: cuando tres de los cuatro puntos están alineados pasa a ser el punto exterior a dicha recta también doble, junto con los planos que pasan por él mereciendo en especial el nombre de centro de homología.
Acerca de la correlación en el espacio se realiza un tratamiento similar al realizado con la homología pero en este caso debe considerar un factor de proporcionalidad, no nulo. Un caso particularmente interesante de la correlación en el espacio, es la involutoria; cuando a todo punto del espacio tiene un único plano correspondiente en la correlación directa o en la inversa.
Muchas son las analogías, gracias a las leyes de dualidad del espacio, que permiten analizar estos conceptos dados en el plano y luego extenderlos.
La intención de este análisis fue dar una leve noción acerca de las correspondencias que pueden darse entre dos espacios proyectivos. Se espera que luego de la lectura de este artículo se pueda observar lo interesante de las analogías presentes en proyectiva, en cada uno de estos conceptos iniciales.
Bibliografía
Eves, Howard. “Estudio de las geometrías”. Tomo I. UTHEA, México 1969
PABLO PERDOMO RIVERO
En el presente trabajo se intenta hacer llegar en la forma más clara y precisa posible, conceptos básicos de una parte
de la geometría.
Más comúnmente conocida como geometría proyectiva, constituye, a criterio de quien suscribe y sin
desmerecimiento de otros enfoques tan valiosos como éste, un aspecto que despierta curiosidad para adeptos
y no tanto, de esta bellísima ciencia.
Considérese por un momento, el problema con el que un artista se enfrenta cuando intenta pintar un cuadro real
de algún objeto. Cuando el artista mira el objeto, los rayos de luz que parten de éste entran en su ojo.
Puede decirse que el estudio de propiedades descriptivas de las figuras geométricas es
el estudio de la geometría proyectiva.
Póngase por ejemplo el punto.
Didácticamente, a juicio de quien suscribe, es mejor comenzar por la clasificación según los elementos que generan
las formas, para después pasar a la más habitual donde se clasifica por la cantidad de coordenadas homogéneas
necesarias para determinar un elemento en la forma proporcionada (primera, segunda o tercera especie)
Básicamente las operaciones utilizadas aquí son dos: la proyección y la sección.
Para subsanar el inconveniente planteado al buscar el correspondiente de una paralela, considérese la recta que
resulta de proyectar un punto A de la recta dada con el centro de proyección. Evidentemente dichas rectas son
secantes. Ahora, al realizar un giro entorno del centro la recta llegará a la posición de la paralela conforme el punto A
se aleja indefinidamente desde su posición original. Se conviene en aceptar que cuando la recta alcance la
mencionada posición el punto A estará infinitamente alejado respecto al comienzo.
Como se sabe, la relación del paralelismo entre rectas de un plano es de equivalencia, y siendo así, determina en
el plano una partición en clases de equivalencia, las cuales se denominan, en cada caso, dirección de una recta. De
esto se deduce que las infinitas rectas diferentes que pertenecen a un plano, generan infinitas direcciones, lo cual
lleva a pensar en un conjunto de infinitos puntos impropios por lo razonado en la sección anterior.
Podría justificarse su existencia, razonando con analogías como las anteriores, observando que él, tiene en común
con cualquier plano propio, la recta impropia.
En las proposiciones fundamentales de la proyectiva, se observa que una proposición cierta en el plano, se transforma
en otra, también válida en el espacio al intercambiar las palabras “punto” y “plano”, dejando inalterada: “recta”. Al cumplir
con esta característica, se dice que las proposiciones son duales. Veamos un ejemplo de las diez básicas: “dos rectas
que pertenecen a un mismo punto, pertenecen también al mismo plano” y su dual “dos rectas que pertenecen a un
mismo plano, pertenecen también al mismo punto”. [1]
Se define en primera instancia la relación simple entre elementos, por ejemplo, puntos de una recta A, B, C como
sigue: (ABC)= AC/BC .
Una función biyectiva entre dos espacios superpuestos, que conserva las relaciones dobles entre las formas que
se corresponden, se denomina proyectividad.
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[1] Castelnuovo, Guido. “Lecciones de Geometría Analítica” tercera parte, cap.I, pág 188
[2] ibidem, página 222
[3] ibidem, página 223
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Castelnuovo, Guido. “Lecciones de Geometría Analítica”. Geometría analítica del plano y del espacio. Conceptos
fundamentales de geometría proyectiva. Curvas y superficies de segundo orden. Editorial
Técnica SRL, Montevideo 1976
Profesor de Matemáticas
padua@montevideo.com.uy
27 marzo 2004
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