Un poco de historia:


Radiación electromagnética. La radiación de equilibrio:

Cuando un cuerpo emite radiación electromagnética, tanto su carácter como intensidad o composición espectral (dependencia de la frecuencia) depende en general de su temperatura absoluta T y de la naturaleza del propio cuerpo emisor.

Sin embargo, hay un caso en el que la composición espectral de la radiación, esto es, la forma en que depende de la frecuencia, no está relacionada con las características del cuerpo emisor, sino solamente de la temperatura absoluta T a la cual se encuentra éste. Es el caso de la llamada radiación de equilibrio.

La radiación de equilibrio corresponde al caso en el que el cuerpo emite la misma cantidad de radiación que absorbe. Veamos el ejemplo de la cavidad cerrada.

Ejemplo:

Sea una cavidad perfectamente cerrada con paredes impermeables al calor y que se mantiene en su interior a una determinada temperatura T. Las paredes interiores de la cavidad emitirán y absorberán ondas electromagnéticas, consiguiéndose al pasar un cierto tiempo un estado de equilibrio estadístico, apareciendo en el interior de la cavidad un sistema de ondas electromagnéticas estacionarias que se mantendrá indefinidamente en un cierto rango de frecuencias. La densidad de energía espectral r del campo electromagnético en un intervalo de frecuencias n dado dependerá, pues, de la frecuencia y de la temperatura absoluta.

(Ver el artículo de esta misma web “Sobre la Densidad de Energía del Campo Electromagnético”)

Veamos que esta densidad de energía es independiente de la naturaleza del cuerpo emisor: consideramos dos cavidades construidas con materiales de naturaleza distinta, que adquieren la misma temperatura T. Si suponemos que la densidad de energía espectral depende de la naturaleza del cuerpo emisor, será diferente en una y otra cavidad, con lo cual, comunicando ambas cavidades romperíamos el equilibrio, pasando radiación hacia la cavidad en donde la densidad espectral de energía sea menor. Esto nos indicaría que la densidad de radiación de dicha cavidad aumentaría, sus paredes absorberían mayor cantidad de energía y su temperatura, por consiguiente, aumentaría, estableciéndose una diferencia de temperatura entre ambas cavidades que podrá ser utilizada para desarrollar un trabajo termodinámico, violando el segundo principio de la termodinámica.

Así pues, vemos que la densidad de energía espectral es una función que depende únicamente de la temperatura T y de la frecuencia n. Es una función universal, por tanto, de estas dos variables.

El Teorema de Kirchoff:

Todo cuerpo absorbe una parte, una fracción, de la cantidad de radiación que incide sobre él, y, asimismo, emite solo una fracción de la cantidad de radiación que contiene.

El Teorema de Kirchoff afirma que el cociente de dividir la fracción de energía emitida y la fracción de energía absorbida por un cuerpo es una función universal de la temperatura absoluta T y de la frecuencia n de la radiación.

Si es la fracción de energía que emite por cm² y unidad de tiempo en un rango de frecuencias dado, y es la fracción de energía que absorbe por cm² y unidad de tiempo en dicho rango de frecuencias, el Teorema de Kirchoff puede expresarse por:

donde es una función universal de la frecuencia de la radiación y de la temperatura absoluta del cuerpo, que se denomina Función de Distribución de la Radiación, y que viene relacionada con la densidad de energía electromagnética en la radiación de equilibrio por la relación lineal:

por tanto, el teorema puede expresarse también, en función de la densidad de energía electromagnética en la radiación de equilibrio por

Así, pues, y , magnitudes que dependen de la naturaleza del cuerpo, están relacionadas de modo que su cociente es una función universal dependiente solo de la temperatura absoluta y de la frecuencia de la radiación. A se le acostumbra a denominar capacidad emisora del cuerpo, y a se le llama capacidad absorbente del cuerpo.

Si logramos determinar la capacidad absorbente de un determinado cuerpo, mediante el estudio de sus coeficientes de absorción, de su geometría, de su naturaleza, etc., el Teorema de Kirchoff nos permitiría determinar también su capacidad emisora conociendo la densidad de energía electromagnética en la radiación de equilibrio.

Es decir, para cada densidad de energía de la radiación de equilibrio la capacidad emisora depende de la capacidad de absorción del cuerpo. Es por tanto, de extrema importancia determinar la función universal que nos da la densidad de energía electromagnética en la radiación de equilibrio.

El cuerpo Negro:

Obviamente, existen cuerpos que tienen mayor capacidad absorbente que otros y podemos considerar el caso ideal del cuerpo que tiene la mayor capacidad absorbente posible, es decir el caso en el que (absorbe toda la radiación que incide sobre él). Este cuerpo ideal es lo que llamamos Cuerpo Negro.

El cuerpo negro corresponde al caso ideal de un cuerpo que absorbe el total de la radiación electromagnética que incide sobre él. Esto es, un cuerpo cuya capacidad de absorción es la unidad.

Para el cuerpo negro, se tiene que la capacidad emisora o radiante es también la mayor posible:

indicándonos esta expresión que dicha capacidad emisora es una función universal de la frecuencia de la radiación y de la temperatura absoluta.

Un ejemplo de cuerpo negro es la cavidad cerrada del ejemplo anterior en donde hemos estudiando la radiación de equilibrio, pues en esa cavidad cerrada las paredes absorben toda la radiación que emiten, es decir .

Esto nos permite pensar que la densidad de energía electromagnética en la radiación de equilibrio, , puede determinarse experimentalmente. Para ello bastaría hacer una pequeñísima abertura en la cavidad y estudiar la variación de energía que sale por ella. Históricamente, fue con un modelo de cuerpo negro de este tipo con el que se estudió experimentalmente por vez primera la distribución espectral de la energía para temperaturas diferentes.

Para cada temperatura data T podemos medir la energía que sale por el orificio (muy pequeño, a fin de que la perdida no sea significativa) para cada frecuencia n de la radiación electromagnética (o longitud de onda ), obteniéndose unas gráficas acampanadas para la densidad de energía en la radiación de equilibrio.

La Ley del Desplazamiento de Wien:

De las gráficas obtenidas experimentalmente se observa que al aumentar la temperatura T el pico o máximo de la gráfica aparece a una longitud de onda menor, es decir, la longitud de onda a la cual aparece el máximo de la gráfica a la temperatura de 200 K es mayor que la longitud de onda a la que aparece el máximo de la grafica a la temperatura de 250 K, y mayor que la longitud de onda a la que aparece el máximo de la curva cuando la temperatura sube a los 300 K. La situación es como si el máximo se desplazara hacia la izquierda al aumentar la temperatura absoluta.

Matemáticamente, es como si hubiera una función de relación inversa entre la temperatura absoluta del cuerpo negro y la longitud de onda a la cual se alcanza el máximo de la energía emitida. Algo del tipo

El descubrimiento de esa relación correspondió al físico Wilhelm Wien (1864-1928), que pudo expresarla de la forma:

que hoy día conocemos como Ley del Desplazamiento de Wien.

La obtención de una Ley de distribución:

A finales del siglo XIX era un problema crucial en la Física explicar la radiación emitida por un cuerpo caliente. Se sabía, en definitiva, que la intensidad de dicha radiación aumenta con la longitud de onda hasta un valor máximo y, a continuación, disminuye al aumentar la longitud de onda. También se conocía que el origen de esa radiación radica en las vibraciones de los átomos del cuerpo caliente que se comportaban como resonadores armónicos en toda la gama de frecuencias. Para el caso del cuerpo negro, emisor perfecto, que absorbe toda la radiación que recibe, la termodinámica habría de ser capaz de conseguir una expresión teórica.

La Ley de Distribución de Wien:

El físico Wilheim Wein había dado en 1896 su ley de distribución, bastante aceptable para pequeñas longitudes de onda:

o, en función de la longitud de onda, haciendo :

(h: constante de Planck, c: velocidad de la luz en el vacío, k: constante de Boltzman).

La expresión de la densidad de energía electromagnética de equilibrio se podría expresar por:

o, en función de la longitud de onda, por:

La Ley de Distribución Rayleigh-Jeans:

Lord Rayleigh y James Jeans dedujeron una ley capaz de explicar los resultados de longitudes de onda largas, pero predecía que el cuerpo debería tener una emisión masiva de energía a longitudes de onda cortas. Un sinsentido conocido como ''catástrofe ultravioleta''.

La expresión en función de la longitud de onda era:

y la densidad de energía electromagnética de equilibrio:

La Ley de Distribución de Planck:

El 19 de octubre de 1900 Max Planck presentó en la Sociedad de Física de Berlín un artículo en el que logró explicitar una nueva ley de distribución que, hasta la fecha, ha resistido todos los hechos experimentales. La ley de Distribución de Planck coincide con la ley de Distribución de Wien para longitudes de onda cortas y con la ley de Rayleigh-Jeans para longitudes de onda largas.

o, en función de la longitud de onda, haciendo :

y la densidad de energía electromagnética en la radiación de equilibrio:

Veamos que las fórmulas de Rayleigh-Jeans y de Wien son casos extremos de la fórmula de Planck:

- Para longitudes de onda largas:

reduciéndose la fórmula de Planck a

que es la ley de Distribución de Rayleigh-Jeans.

- Para longitudes de onda cortas:

y se tiene, al sustituir, que

que es la ley de Distribución de Wien.

Carlos S. CHINEA
casanchi@teleline.es
31 diciembre 2005