En la mayoría de los libros de teoría de números el Teorema de Wilson es probado aplicando el Teorema de Lagrange para congruencias polinomiales [1,2,3,4]. Hardy & Wright también lo han probado usando residuos cuadráticos [3]. En este artículo el Teorema de Wilson se deriva como corolario de una identidad algebraica.
Teorema 1:
Para todo entero y para todo número real se tiene:Demostración:
Vamos a proceder por inducción. Sea
Es fácil comprobar que
Supongamos que R
Consideremos:
Separando el término y usando:
Tenemos:
Por tanto es constante, en particular:
Ya que el término es cero.
con lo cual hemos probado que y por inducción tenemos R N
Corolario 1: (Teorema de Wilson)
Para todo número primo , tenemos: .
Demostración:
Sea donde es primo. Usamos la fórmula para
Pero tenemos para :
De donde se deduce:
Usando este resultado en (1) obtenemos:
Si es impar y por tanto es par. Por ello tenemos la relación que usamos para obtener:
Por otro lado como es primo con podemos usar el Teorema de Fermat para obtener:
Combinamos (2) y (3), para concluir que:
y esta última relación puede ser escrita en la forma:
Corolario 2:
Para todo entero y para todo número real, se tiene:
Prueba:
Consideramos la identidad algebraica del teorema 1
Derivando j veces
Por tanto:
Referencias:
1: T.M. Apostol, Introduction to analytic number theory, Springer-Verlag, New York (1976)
2: R. D. Carmichael, Theory of Numbers, John Wiley and Sons, New York (1914)
3: G. H. Hardy and E. M. Wright, An introduction to the theory of numbers, Fourth edition, Oxford University Press (1960)
4: Kenneth Ireland and Michael Rosen, A classical introduction to modern number theory, second
edition, Springer-Verlag, New York (1990)
Sebastián MARTÍN RUIZ
s_m_ruiz@yahoo.es
26 marzo 2005