Para resolver integrales indefinidas no inmediatas disponemos de métodos muy precisos. Una vez que el/la alumno/a los domina se enfrenta al problema de decidir en cada caso qué método le conduce a la solución. En el ejemplo que analizo ocurre lo que sucede continuamente en Matemáticas, esto es, que podemos elegir varios caminos para llegar a nuestro objetivo. Si, finalmente, conseguimos resolver el problema habremos tenido éxito, pero - normalmente - la mejor solución es la que menos nos haga trabajar, será más corta y, seguramente, más elegante .

El estudio de integrales se inicia en Bachillerato. En este nivel no se puede pretender que los/as alumnos/as sean capaces de resolver una integral de ocho formas distintas como se plantea en este estudio en el que se utilizan muchas identidades trigonométricas y todos los métodos de integración que se les enseñan (cambio de variable, por partes, descomposición de integrales racionales y “trucos” para transformar la integral), pero si es importante que se den cuenta de que en Matemáticas podemos hacer las cosas bien o, pensando un poco, podemos hacerlas mejor .

Integral 1:

En las integrales con funciones trigonométricas de exponente entero, este es un cambio de variable seguro ya que nos conduce a una integral racional (cociente de polinomios) cuya resolución es puramente mecánica. Lo que ocurre es que tanto el cambio como la segunda integral requieren mucho trabajo .

Cambio de variable:

Integral 2:

Con el siguiente cambio de variable, mucho más fácil que el realizado anteriormente, se obtiene una integral racional que se puede descomponer en dos integrales inmediatas:

cos x = t ---> -sen x dx = dt

Multiplicar numerador y denominador por sen x es análogo a lo anterior, pero nos puede ayudar a realizar el cambio de variable.

Integral 3:

Con las identidades del ángulo mitad se puede descomponer en dos integrales inmediatas :

Integral 4:

Utilizando una identidad del ángulo mitad y con una transformación multiplicando y dividiendo se obtiene una integral inmediata:

Dividimos numerador y denominador por cos²(x/2):

Integral 5:

Utilizando una identidad del ángulo mitad y con un cambio de variable se obtiene una integral racional:

Cambio de variable:

Puede ser útil, para darse cuenta del cambio a realizar, multiplicar numerador y denominador por cos(x/2).

Integral 6:

Utilizando la identidad fundamental y un cambio de variable:

Para la segunda integral se realiza el cambio de variable cos x = t --> -sen x dx = dt
(se puede multiplicar y dividir por sen x)

Así:

Integral 7:

Utilizando la integración por partes :

Se obtiene la integral ya resuelta en el anterior estudio.

Integral 8:

Este es, sin duda, el mejor método de realizar la integral. Requiere la habilidad de darse cuenta de que multiplicando y dividiendo por (cosec x + cotg x) se obtiene una integral inmediata:

Equivalencia de las soluciones:

Como en el estudio han aparecido tres soluciones, conviene demostrar su equivalencia.

Pascual PEIRÓ CODINA
ppeirocodina@educaragon.org

26 febrero 2005

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