Son las funciones trigonométricas que utilizamos en la vida corriente, las que son imprescindibles en cualquier mínimo cálculo. En España, los escolares de Educación Secundaria han de dominarlas en breve plazo.

Sin embargo, siempre es necesario precisar el lugar que ocupan en el desarrollo actual de la Matemática. Veamos algunas características básicas, necesarias para quienes deseen ampliar un estudio sobre las mismas.

0. Introducción:

0.1. Las funciones trigonométricas circulares e hiperbólicas:

Denominamos funciones trigonométricas circulares a aquellas funciones trigonométricas referenciadas en la circunferencia.

Las funciones trigonométricas construidas con referencia en la hipérbola se denominan funciones hiperbólicas.

Por simplicidad, y puesto que lo permite el Teorema de Thales, usamos la circunferencia trigonométrica (de radio unidad) para el estudio de las funciones circulares, lo mismo que podríamos usar la hipérbola equilátera de parámetro unidad para el estudio de las funciones hiperbólicas.

0.2. Circunferencia trigonométrica:

Para un punto cualquiera (x,y) se verifica, cualquiera que sea el radio r de la circunferencia, que son constantes las razones x/r, y/r, en virtud del Teorema de Thales. Por lo cual, y por simplicidad, podemos utilizar, en el estudio de las funciones circulares, la circunferencia en la que r = 1, es decir, la que llamaremos circunferencia trigonométrica, de radio unidad.

1. La definición de las funciones circulares

1.1. Definición:

Que llamaremos:

sen a : “seno circular del ángulo a”, o, simplemente, “seno de a”
Función seno: f(x)= senx

cos a : “coseno circular del ángulo a”, o, simplemente, “coseno de a”
Función coseno: f(x)= cosx

tg a : “tangente circular del ángulo a”, o, simplemente, “tangente de a”
Función tangente: f(x)= tgx

ctg a : “cotangente circular del ángulo a”, o, simplemente, “cotangente de a”
Función cotangente: f(x)= ctgx (inversa de la tangente)

sec a : “secante circular del ángulo a”, o, simplemente, “secante de a”
Función secante: f(x)= secx (inversa del coseno)

cosec a : “cosecante circular del ángulo a”, o, simplemente, “cosecante de a”
Función cosecante: f(x)= cosecx (inversa del seno)

1.2. Relaciones elementales:

Del Teorema de Pitágoras en la anterior figura, tenemos:
y de la definición de las restantes razones: de la anterior relación pitagórica: También pueden expresarse la tangente y la cotangente en función de la secante y cosecante: por tanto:

1.3. Dominios y gráficas:

1.3.1. El seno y su inversa:

1.3.1.a. Características de y = sen x:

Función seno: función real de variable real
Dominio: Dom(sen(x))=R
Rango: [-1,1]
Paridad: sen x = - sen(-x) [función impar]

1.3.1.b. La cosecante:

y= cosec x = 1/sen x
Función cosecante: Función real de variable real:
Dominio: Dom(cosec(x))= R-
Rango: R - (-1, 1)
Paridad: cosec x = -cosec(-x) [función impar]

1.3.1.c. Gráficas:

1.3.2. El coseno y su inversa:

1.3.2.a. Características de y = cos x:

Función coseno: función real de variable real
Dominio: Dom(cos(x))=R
Rango: [-1,1]
Paridad: cos x = cos(-x) [función par]

1.3.2.b. La secante:

y= sec x = 1/cos x
Función secante: Función real de variable real:
Dominio: Dom(sec(x))=R-
Rango: R - (-1, 1)
Paridad: sec x = sec(-x) [función par]

1.3.2. c. Gráficas:

1.3.3. La tangente y su inversa:

1.3.3.a. Características de y = tg x:

Función tangente: función real de variable real
Dominio: Dom(tg(x))=R-
Rango: R
Paridad: tg x = - tg(-x) [función impar]

1.3.3.b. La cotangente:

y= ctg x = 1/tg x
Función cotangente: Función real de variable real:
Dominio: Dom(ctg(x))=
Rango: R
Paridad: ctg x = - ctg(-x) [función impar]

1.3.3.c. Gráficas:

2. Fórmulas de la suma y diferencia de argumentos

Es fácil obtener las razones trigonométricas circulares del ángulo suma y diferencia de otros dos ángulos a + b y a - b.

Si, en la figura, consideramos los vectores perpendiculares y :



Podemos expresar con respecto a ellos el vector


[1.1]
O sea:
[1.2]
Identificando ahora las igualdades [1.1] y [1.2] aparecen:




Por tanto:



También, sustituyendo la b por -b en las relaciones obtenidas:

Para las restantes razones de los ángulos suma y diferencia pueden obtenerse a partir de las anteriores diferentes expresiones, en función de las tangentes, cotangentes, secantes o cosecantes de ambos ángulos. Veamos algunos ejemplos:

3. Factorizaciones

A partir de las razones de los ángulos suma y diferencia pueden obtenerse fórmulas que conviertan sumas y diferencia de senos o cosenos en productos, es decir, que nos permitan factorizar sumas y diferencias.

Llamando a + b = A y a - b = B, se tiene:

entonces:



en definitiva se tiene para la factorización de suma y diferencia de senos o de cosenos:

Con las restantes razones circulares se actúa de forma análoga. En el caso de la tangente, por ejemplo, se tiene:

4. Derivadas:

Podemos obtener, con las relaciones de factorización de sumas y diferencias, de forma sencilla, las funciones derivadas de las funciones circulares desde la definición de derivada:

Derivada del seno:

Derivada del coseno:

Se tienen, en definitiva, las derivadas

Las derivadas de las restantes funciones circulares se obtienen usando las reglas elementales de derivación. Veamos el caso de la derivada de la tangente:

5. Expresiones exponenciales:

Si consideramos los desarrollos en serie de Taylor del seno y del coseno, así como el desarrollo de la exponencial eix, se tiene:

Desarrollo en serie de Taylor de las funciones seno y coseno, en un entorno del origen:

Por otra parte el desarrollo en serie, también en un entorno del origen, de la exponencial e^x es:

Por lo que la exponencial e^ix es:



Por lo cual se puede escribir:

^{(Fórmula de Euler)}

También se tiene, cambiando el signo a x:



De lo cual se obtiene una expresión exponencial para el seno y el coseno:

6. Relaciones entre las funciones circulares y las hiperbólicas:

De ser:

Se tiene:



Del mismo modo se obtienen también relaciones del tipo:

7. Referencias:

LOPEZ, V.-SANCHEZ MARTIN, J.L., Matemáticas 3 Bachillerato, Ediciones S.M., Madrid, 1978
VANCE, E. P., Algebra y Trigonometría, Fondo Educativo Interamericano, 1978.
PEREZ DELGADO, J.M., Las Funciones Hiperbólicas, en esta Web.