Tanto la estructura algebráica de grupo como las denominadas Algebras de Lie, tiene la peculiaridad de ser las estructuras matemáticas que describen el concepto clásico de simetría. La Teoría de la Relatividad Restringida es, en último término, una teoría de las simetrías del espacio vacío y también del tiempo, descritas por el grupo de Poincaré, grupo de transformaciones ortogonales, del cual es subgrupo el grupo de Lorentz.

Incluso, la definición del concepto de partícula, en el contexto de la Teoría Cuántica de los Campos, tal como la formuló Eugene Wigner (1902-1995), está relacionada con la simetría: "Una partícula es una representación irreducible del grupo de Poincaré". Tanto la masa de una partícula como su espin, por ejemplo, se relacionan con formas distintas de representaciones irreducibles del grupo de Poincaré.

Pero la simetría, en todas sus formas, tiene una relación directa con la constancia de ciertas magnitudes fundamentales, con la conservación. Fué en 1915 cuando la gran matemática Emmy Noether (1982-1935) pudo probar que toda ley de simetría, tanto en la Mecánica Clásica como en la Mecánica Cuántica, origina una propiedad de conservación.

EMMY NOETHER

EUGENE WIGNER

1. LA SIMETRIA.
2. LA SIMETRIA EN LA FISICA CLASICA.
3. TEOREMAS DE CONSERVACION CLASICOS.
4. LA SIMETRIA EN LA FISICA DE LAS PARTICULAS.

1. La simetría:

La simetría es una propiedad universal tanto en la vida corriente, desde un punto de vista matemático como desde el quehacer de la Física Teórica. En realidad, lo que observamos en la vida corriente es siempre lo repetitivo, lo simétrico, lo que se puede relacionar entre sí por tener algo común.

En un sentido dinámico, la simetría podemos entenderla como lo que se repite, lo reiterativo, lo que tiende a ser igual. Es decir, los objetos que, por mantener la misma geometría, son representativos de otros objetos. En el Caos matemático encontramos esta concepción de la simetría en el mundo los fractales.

Para definir la simetría de un objeto es necesario referirla al cambio que produce la simetría. Así, se dice que existe una simetría asociada a un determinado cambio en un objeto si la realización de tal cambio en el objeto no implica ninguna observación constatable del proceso del cambio.

En la simetría axial tridimensional, el cambio es una rotación con respecto a un eje, y en el caso de la simetría central, el cambio al que va asociada es la rotación alrededor de un centro. La simetría axial y la simetría central son las formas clásicas de simetría de los objetos del espacio ordinario, sin embargo, cuando hablamos de entidades más abstractas en la física de las partículas es preciso generalizar el concepto clásico de simetría.

2. La simetría en la Física Clásica:

La Física clásica de Galileo y Newton, esto es, la mecánica desarrollada luego por Lagrange, Hamilton, Mapertuis, etc., como la teoría especial de la relatividad formulada por Einstein, descansan, para poder desarrollarse, en la postulación implícita de simetría en el contexto del espacio-tiempo.

Esta postulación de simetría para la formulación y desarrollo de las leyes de la física constituye tanto lo que entendemos por homogeneidad e isotropía del espacio, por una parte, como por lo que llamamos uniformidad del transcurrir del tiempo, por otra.

2.1. Homogeneidad e isotropía del espacio:

La homogeneidad del espacio quiere indicarnos que todos los puntos del espacio, dondequiera que se encuentren, son equivalentes para la formulación de las leyes de la Física. No existen, según esto, puntos privilegiados donde las leyes formuladas puedan variar o tener un funcionamiento distinto.

Entenderemos que las leyes fisicas que formulamos en el contexto de nuestro sistema solar tienen la estructura misma que si hubieran sido formuladas en el ámbito de un planeta correspondiente a una lejana estrella de la galaxia de Andrómeda, por ejemplo.

La isotropía se refiere a que todas las direcciones espaciales son entre sí equivalentes, son simétricas, al establecer las formulaciones de la Física. No existen direcciones del espacio hacia donde las leyes de la Física funcionen de manera distinta a cómo funcionan en las restantes direcciones.

Ni la dirección del movimiento galactico, ni de los sistemas estelares entorno a centros caóticos de atracción o repulsión podrían hacer variar la formulación de las leyes de la Física. Todas las direcciones son equivalentes.

2.2. La uniformidad del tiempo:

La uniformidad del tiempo intenta explicitar que el discurrir de los acon-tecimientos no modifica las leyes de la Física, esto es, que las leyes de la física en un instante dado son las mismas que en cualquier instante anterior y seguirán siendo las mismas en los instantes posteriores.

En épocas pasadas, en sentido astronómico, en las que el universo se encontraba en fases distintas de evolución, las leyes de la Física hubieran podido ser formuladas del mismo modo.

3. Teoremas de conservación clásicos:

En el sentido del Teorema de Noether, cada una de las afirmaciones clásicas de simetría origina una propiedad de conservación. Estas propiedades de conservación son los conocidos teoremas de conservación de la energía, deducido desde la uniformidad del tiempo, el teorema de conservación del momento lineal o ímpetu, obtenido desde la homogeneidad del espacio y el teorema de conservación del momento angular o cinético, que se deduce de la isotropía del espacio.

3.1. El teorema de conservación de la energía:

El teorema de conservación de la energía total en los sistemas mecánicos holónomos esclerónomos -aquellos sistemas sometidos a condiciones de ligadura independientes del tiempo expresables mediante relaciones matemáticas entre sus coordenadas- no sometidos a fuerzas de disipación, resulta ser una consecuencia inmediata de la simetría del tiempo, es decir, del hecho de que las magnitudes fundamentales no dependen explícitamente del transcurrir del tiempo.

Dicho de otro modo, la conservación de la energía total resulta de la uniformidad del tiempo.

Así, si es la lagrangiana del sistema mecánico antedicho, se tiene que: , por lo que la derivada total con respecto al tiempo sería:

Entonces:

Es decir, la hamiltoniana H se conserva en estos sistemas, y como la energía total coincide con la hamiltoniana si no existen fuerzas disipativas, se puede concluir que la energía total se conserva.

3.2. El teorema de conservación del impulso:

También en los sistemas mecánicos holónomos esclrerónomos no sometidos a fuerzas disipativas se conserva otra importante magnitud si se postula la homogeneidad del espacio, esto es, que la función lagrangiana no varía en un desplazamiento virtual (a tiempo constante) del sistema mecánico. La magnitud que se conserva en este supuesto de simetría es el n-vector impulso:

Donde es L la función de Lagrange y las son las velocidades generalizadas, es decir, las derivadas respecto del tiempo de las coordenadas generalizadas.

En una variación de coordenadas a tiempo constante, variación virtual, la lagrangiana se mantiene invariante en virtud de la homogeneidad del espacio ordinario:

y como solamente varía la posición espacial del sistema mecánico, se tiene, expresando la variación de la lagrangiana con respecto a las coordenadas generalizadas:

lo cual implica que y si el sistema es conservativo, se tiene que:

por tanto:

3.3. El teorema de conservación del momento cinético:

El tercero de los teoremas de conservación clásicos tiene que ver con la postulación de la isotropía del espacio, esto es, con el hecho de que no existan direcciones privilegiadas en la formulación de las leyes de la Física.

La magnitud que se conserva en esta simetría es el momento cinético total del sistema mecánico:

En una rotación virtual (a tiempo constante) será:

Si, para cada partícula del sistema, es el vector de posición y es la correspondiente velocidad, se puede escribir, para la variación virtual de la lagrangiana, lo siguiente:

veamos cómo reducir la expresión de la variación virtual del radio vector y de la velocidad en una rotación diferencial :

variación del radio vector:
radio vector respecto al eje de rotación:
módulos: ,

sustituyendo estas expresiones en la variación virtual de la Lagrangiana, se tiene:

En definitiva:

4. La simetría en la Física de las partículas:

El modelo actual de la Física de las partículas está descrito por un gran número de simetrías, que predicen, en el sentido probado por Emmy Noether tanto propiedades de conservación -conservación de la "carga"- como la existencia de nuevas partículas, que serían simétricas de partículas ya descubiertas.

4.1. La clasificación general de las partículas:

Las partículas, en el modelo estándar, se pueden clasificar de diversas maneras:

Por la función:

Partículas materiales: Poseen la "carga" para que actúe sobre ellas la interacción correspondiente a cada tipo de carga: carga gravitacional (gravitación) carga de sabor (interacción debil), carga electromagnética (electromagnetismo) y carga de color (interacción fuerte).

Partículas portadoras: Gravitones -partículas aún no descubiertas-, portadoras de la gravitación, bosones Z, W- y W+, portadoras de la interacción débil, fotones, portadoras del electromagnetismo, y, finalmente, los gluones, que portan la interacción fuerte.

Por el tipo de interacción:

Partículas de la interacción gravitacional: comprende a las partículas materiales con carga gravitatoria y las partículas portadoras de la interacción gravitacional -no evidenciada aún su existencia-, los gravitones.

Partículas de la interacción débil: son las partículas que tienen carga de sabor, y las correspondientes portadoras de la interacción débil, los llamados bosones Z, W- y W+.

Partículas de la interacción electromagnética: comprende a las partículas con carga electromagnética y a los fotones, portadoras de este tipo de interacción.

Partículas de la interacción fuerte: son las partículas que tienen el tipo de carga sobre el cual actúa la interacción, la llamada carga de color, y las correspondientes partículas portadoras, los gluones.

Por la estructura:

Partículas fundamentales: son las partículas no compuestas de otras partículas, tales como los quarks, los leptones y las partículas portadoras (gravitones, bosones Z, W- y W+, fotones y gluones.

Partículas no fundamentales, o hadrones: bariones (compuestas por tres quarks, como son los nucleones y los inestables hiperones), y los mesones, que estan formados por un par quark-antiquark y también, en ciertas situaciones, por dos quarks.

Por el spin:

Fermiones: partículas cuyo spin o momento angular intrínseco viene dado por un número semientero (1/2, 3/2, ..., -1/2, -1/3, ... ), partículas que obedecen al Principio de Exclusión de Pauli, denominados fermiones porque siguen la estadística de Fermi-Dirac. Son los bariones, leptones y quarks.

Bosones: Partículas de spin entero (0, 1, 2,..., -1, -2, ...), que siguen la estadística de Bose-Einstein. Son estas particulas los mesones y las partículas portadoras (gravitones, bosones Z, W- y W+, fotones y gluones).

4.2. Las formas de simetría:

Existen en la Física de las partículas simetrías o correspondencias entre ciertas partículas que establecen como las de una determinada clase son simétricas o correspondientes de otras partículas de otra clase.

Hay que distinguir, en el contexto del modelo estandar, dos tipos de simetrías, a saber: la simetría ordinaria o "de gauge" entre partículas, por una parte, y lo que se ha dado en llamar la Supersimetría, generalizadora de la simetría del espacio-tiempo de la relatividad restringida, por otra.

4.2.1. La simetría ordinaria:

En lo que respecta a la simetría ordinaria, descrita matemáticamente por la teoría de grupos y álgebras de Lie, digamos que es la que domina todo el modelo estandar de las partículas, estableciendo simetrías entre pares de partículas fermiónicas entre sí, o bien, entre bosones entre sí. La Física de partículas está dominada, pues, por las simetrías "de gauge" u ordinarias.

La simetría ordinaria o de cambio de escala ("gauge"), como inicialmente fuera enunciada por Herman Weyl (1855-1955) en 1918, afirma en general que si las propiedades físicas no varían en transformaciones arbitrarias (de cambio de fase, de escala, etc..) existirá alguna conexión entre los intervalos del espacio-tiempo que originan las fuerzas actuantes sobre las partículas.

Herman Weyl

La descripción matemática mediante simetrías de gauge de las interacciones débiles -fuerzas subatómicas que actúan en la desintegración de algunos tipos de partículas- exigió la unificación de estas interacciones con la interacción electromagnética en un desarrollo que en la década de los 80 se denominó Teoría Electrodébil y que ha permitido deducir la existencia de las partículas portadoras que hoy llamamos bosones Z, W- y W+, para la interacción débil, del mismo modo que el fotón era portadora de la interacción del electromagnetismo.

En cuanto a la descripción matemática mediante simetrías de las interacciones fuertes, exigió asignar a cada una de las partículas portadoras, los gluones, una carga "de color" en un desarrollo que se ha dado en llamar Cromodinámica Cuántica.

Las simetrías ordinarias describen, en definitiva, las relaciones de correspondencia entre electrones y neutrinos electrónicos, o entre positrones y neutrinos positrónicos, asi como las relaciones simetrizantes llamadas "de color" que liga a los gluones, portadores de las interacciones fuertes, o a los mismos quarks entre sí.

Sin embargo, la diferencia tan extraordinaria que separa a los fermiones (partículas que cumplen el principio de exclusión de Pauli), y los bosones que, por el contrario, tienden a un mismo estado cuántico, impide que pueda establecerse una simetría ordinaria entre estos dos tipos de partículas, pues al invertirse los fermiones el estado cuántico cambia, mientras que en la inversión de los bosones se tiende siempre a un mismo estado.

Así pues, encontramos que las estructuras matemáticas de grupos y algebras de Lie ordinarias no pueden introducir ni tampoco eliminar inversiones entre fermiones para obtener bosones, o viciversa.

4.2.2. La supersimetría:

Las álgebras de Lie graduadas comenzaron a usarse ya desde 1972 para intentar describir cómo es posible que se puedan añadir componentes fermiónicos a cada partícula, intercambiándose así fermiones y bosones. Es lo que se ha dado en denominar "supersimetría".

Cada partícula, en razón de la supersimetría ha de estar emparejada con otra partícula, su supersimétrica, del tipo contrapuesto. Esto es, cada boson existente admite una partícula fermiónica como su "supersimétrica", y, viciversa, cada fermión conocido ha de admitir un boson supersimétrico.

La cuestión es que entre las partículas conocidas, tanto entre los fermiones como entre los bosones, no existen siempre las partículas con las propiedades físicas necesarias para ser consideradas supersimétricas de otras ya descubiertas, por lo cual la supersimetría predice la existencia de otras partículas, supersimétricas de las ya conocidas.

Así, se predice la partícula denominada "fotino" como compañera supersimétrica fermiónica del foton, particula bosonica portadora de la interacción electromagnética. Del electrón, que es una partícula fermiónica, se predice la existencia de una supercompañera dentro del tipo de los bosones, que se denomina ya "selectron", etc. br>

4. Documentación:

1. Landau, L.-Lifchitz, E. "Curso de Física Teórica". Editorial Mir, Moscu.
2. Finzi, Bruno. "Mecánica racional". Editorial Urmo. Bilbao, España, 1976.
3. Diaz Pazos, Patricio. "Algo sobre quarks". Comunicación a la lista de ASTRO-ES, febr, 2000.
4. Investigación y Ciencia. Num 312, septiembre 2002, pags 58-65.
5. Diaz Pazos, Patricio. "A horcajadas en un fotón" (libro virtual, en http://www.educar.org/h-foton/h-foton.htm)
6. Pérez Mercader, Juan. "¿Qué sabemos del Universo?". Editorial Temas de Debate, marzo 1997.
7. Enciclopedia Encarta 99.
8. Web: La aventura de las partículas. http://ParticleAdventure.org/spanish/
9. Web: Partículas elementales http://www.astroscu.unam.mx/hipercurso/hipercurso.html

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Carlos S. Chinea
casanchi@teleline.es
19 noviembre 2002

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