1. La ley de los gases ideales aplicada a la atmósfera.
Consideremos una masa gaseosa de volumen V que se encuentra a una presión P y una temperatura absoluta T.
La ley de los gases ideales establece que [1]:
En donde:P: presión del gas.
V: volumen del gas.
T: temperatura absoluta del gas (º K).
n: es el número de moles del gas.
R: constante universal de los gases ideales.
Sea m la masa total de gas que ocupa el volumen V y M el peso de cada mol o peso molecular, entonces se verifica que:
Sustituyendo en [1]:
La definición de densidad ( r ):
Sustituyendo:
Sea:
Por lo tanto:
Para el caso del aire:
M = 28,9644 g / mol.
R' = 2,87 · 106 ergios/(g ºK) = 287 julios /(kg. ºK)
Si llamamos Po, r o, y To a las condiciones del aire de la atmósfera a nivel del mar:
Donde:
Po = 1 atm = 760 mm de Hg = 1013,25 milibares = 1013 HPa = 29,9212 in Hg.
r o = 1,225 Kg / m3 = 0,001225 g / cm3 .
To = 288,15 º K (15 ºC).
Definamos los parámetros que siguen:
La ecuación queda:
2. Ecuación fundamental de la presión hidrostática.Consideremos dentro de un fluido en equilibrio una porción cilíndrica del mismo, de altura dh y sección transversal S (ver figura 1).
La suma de todas las fuerzas que actúan sobre la porción cilindrica es cero. Por razones de simetría las fuerzas sobre las paredes laterales del cilindro se anulan unas a otras, dando la resultante nula. En la dirección vertical existe hacia arriba la fuerza ejercida por la presión p de valor F1 = p S y hacia abajo la que ejerce p + dp, de valor F2 = (p + dp) S.
El peso de la porción cilindrica definida es:
P = m · g
Como el fluido esta en equilibrio:Luego:
F1 - F2 - P = 0
p·S - (p + dp)·S - m · g = 0
p·S - (p + dp)·S - r ·V · g = 0
p·S - (p + dp)·S - S · dh · r · g = 0
Simplificando:
dP = - r g dh
El signo negativo indica que la presión disminuye conforme aumenta la altitud.
3. Ecuación de la presión en función de la altitud para la atmósfera tipoLa atmósfera tipo o estándar es aquella que tiene definido unos valores fijos de presión, densidad y temperatura a nivel del mar y se rige por la ley de los gases ideales y la ecuación de la presión hidrostática.
Tomemos las ecuaciones [2] y [4]:
Eliminando la densidad:
Se considera que para alturas inferiores a 11 Km, la temperatura varía con la altitud a razón de 6,5 ºC por Km:
T = 288,15 - 0,0065 h ( T en ºK y h en metros)
Por lo tanto:
Integrando para h = 0 implica P = Po y sustituyendo los valores g = 9,806 m/ s2 y R' = 287 julios /(kg. ºK):
Luego:
Representando esta variación de la presión con la altura, en la troposfera, es decir, entre los 0 y 11.000 metros:
Si consideramos la variación en los primeros 500 metros, la curva se confunde prácticamente con una recta:
Las gráficas de variación de la temperatura con la altitud son:
En los primeros 500 metros:
4. Formula de nivelación barométrica
Si conocemos la presión y la temperatura en dos puntos separados por una altura D h, podemos hallar una ecuación que nos calcule esta diferencia de altitud.
Partamos de la expresión [5]:
Podemos considerar que la temperatura de la masa de aire existente entre los dos puntos es igual a la temperatura media entre los mismos, es decir:
Luego:
Integrando y sustituyendo los valores de las constantes g = 9,806 m/ s2 y R' = 287 julios /(kg. ºK):
Luego:
Luego la diferencia de cota (D h = h2 - h1) entre el punto 1 y 2, es:
Tm en ºK y D h en metros.
Para alturas inferiores a 500 m, se puede emplear la siguiente fórmula, que al no aparecer la función logarítmica facilita los cálculos:
Tm en ºC y D h en metros.
Ejemplo I:
Queremos medir la altura de un edificio de 11 plantas, para lo cual se toman dos medidas de presión y temperatura, una en la planta baja y la otra en la planta undécima. Las lecturas nos han dado:
Calcular la diferencia de cota entre los dos puntos.
Temperatura Presión Planta 0 19,79 º C 755,04 mm de Hg Planta 11 15,59 º C 752,43 mm de Hg Emplearemos las dos formulas:
5. Fórmula barométrica de Edmund Halley (1656 - 1742).
En 1686, en un comunicado a la Royal Society de Londres, el astrónomo Edmund Halley estableció la fórmula exponencial de variación de la presión con la altura a temperatura constante.
Partamos de la expresión [5]::
Recordando que:
Luego:
Integrando:
Despejando p(h) nos da la fórmula de la variación de la presión con la altura:
La fórmula que daba la variación de la densidad con la presión tenía la siguiente expresión:
El peso especifico del aire U o a la cota cero es:
Sustituyendo en la expresión exponencial:
La presión a la altura h será igual al peso especifico del mercurio multiplicado por la altura de la columna del barómetro de mercurio a la cota h:
p(h) = U Hg · x(h)
Luego:
Despejando h:
Según Halley la relación entre el peso especifico del aire a cota cero y el peso especifico del mercurio es:
Luego la expresión final es:
Ejemplo II:
Queremos medir la altura de un edificio de 11 plantas, para lo cual se toman dos medidas de presión, una en la planta baja y la otra en la planta undécima. Las lecturas nos han dado:
Calcular la diferencia de cota entre los dos puntos, empleando la fórmula de Halley.
x(h) Planta 0 755,04 mm de Hg Planta 11 752,43 mm de Hg Sustituimos en la fórmula:
Luego:
6. Bibliografía
ISIDORO CARMONA, A. (1996), Aerodinámica y actuaciones del avión, Madrid, Editorial Paraninfo, pp. 19 - 43.
BERBERAN, N.M.;BODUNOV, E.N.;POGLIANI, L. (1997), On barometric formula, Am. J. Phys., 65 (5), pp. 404 - 12
PITA SUAREZ-COBIAN, P.; LORENTE PEREZ, J.M. (1942), Meteorología Aeronáutica, Madrid, Saeta. pp. 38- 45
PETTERSSEN, S. (1951) Introducción a la meteorología, Buenos Aires, Espasa Calpe Argentina, S.A., pp. 32-3
SYNERGY, R. P. (1994), Kiting to Record Altitudes, Toronto, Write Publications.
JUAN MIGUEL SUAY BELENGUER
Ingeniero Superior Industrial
D. E. A. en Historia de la Ciencia
jmsb2@alu.ua.es
03 enero 2004
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