En el año 1906, el astrónomo alemán Max Wolf descubrió el asteroide 588, y, pocos meses después, se descubrió también el asteroide 617, ambos en la órbita de Júpiter, el primero precediendo y el segundo siguiendo al gigante gaseoso, y ambos formando con el planeta y el Sol respectivos triángulos equiláteros. Estos descubrimientos y el de otros asteroides agrupándose alrededor de cada uno de ellos permitieron sacar a la palestra un problema mecánico que había sido trabajado por Lagrange, Euler y Laplace y que se conoce como el Problema de Los Tres Cuerpos.

DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA DE LOS TRES CUERPOS:

Problema General:

Es el problema del estudio del movimiento de tres cuerpos considerados como puntos materiales que se atraen mutuamente según la ley de gravitación de Newton. El más clásico es el movimiento del sistema formado por Sol-Tierra-Luna. Consiste en hallar la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales de la forma:

donde son xi, yi, zi las coordenadas rectangulares del cuerpo Mi en un sistema absoluto de coordenadas, t es el tiempo, mi es la masa del cuerpo Mi y es U una función de fuerza que depende de las distancias mutuas entre los cuerpos, que se define de la forma:

donde las distancias mutuas Dij, i,j=1,2,3, vienen dadas por

De las propiedades de la función de fuerza U se obtienen diez integrales, de las cuales seis de ellas describen la posición y movimiento rectilíneo y uniforme del Centro de masas, las tres siguientes integrales, de los momentos de la cantidad de movimiento, definen el valor y el sentido del vector momento de la cantidad de movimiento del sistema, y la integral de la energía define el valor de la energía constante del sistema.

En 1887 fue demostrado por H. Bruns que las ecuaciones del movimiento del centro de masas no admiten otras integrales expresables mediante funciones algebraicas, y dos años más tarde Henri Poincaré pudo probar que tampoco tienen integrales trascendentes que se puedan expresar mediante funciones analíticas uniformes. En realidad no fue hasta 1912 cuando el finlandés C. Sundman encontró una solución general en forma de series de potencias de una variable de regularización que, sin embargo, debido a la lentitud de la convergencia de estas series, resultó no ser operativa, esto es, no permitían ni calcular las posiciones de los cuerpos en el espacio ni obtener conclusiones sobre el carácter de los movimientos.

Joseph Luis de Lagrange habia probado en 1772 que las ecuaciones del movimiento, sin embargo, admiten en total cinco soluciones particulares que corresponden al caso en el que los tres cuerpos estén en un cierto plano fijo. Con esto la posición relativa de los tres cuerpos queda también fija y describen trayectorias de Kepler con foco común en el centro de masas del sistema.

De las cinco soluciones particulares, dos de ellas corresponden al caso en el que los tres cuerpos forman un triángulo equilátero (soluciones particulares triangulares de Lagrange) y las otras tres corresponden al caso de alineación rectilínea de los tres cuerpos (soluciones particulares rectilíneas de Euler-Lagrange).

El problema acotado:

Corresponde al caso particular en el que la masa de uno de los tres cuerpos es prácticamente despreciable en comparación con la masa de los otros dos. Se tendría, pues que los cuerpos M₁, M₂ y M₃ presentarían masas m₁³ m₂³ m₃, y m₃ en la práctica no causaría ningún tipo de influencia en las otras dos masas por ser mucho menor que cualquiera de las dos.

En este problema acotado los dos objetos masivos M₁ y M₂ se mueven bajo el efecto de atracción gravitacional mutua siguiendo órbitas keplerianas. Si llamamos O al centro de masas de ambos cuerpos y consideramos un sistema referencial centrado en O de forma que el eje x tenga la dirección de la recta que une a ambos cuerpos, y el eje z sea perpendicular al plano de su órbita, podemos describir el movimiento del tercer cuerpo, de masa insignificante en comparación con M₁ y M₂ mediante el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales.

Ecuaciones del movimiento de la masa pequeña m₃ en el sistema referencial de la figura:

Donde es:

con r₁ y r₂ distancias de la masa pequeña m₃ a las masas m₁ y m₂. El parámetro h que figura en las ecuaciones diferenciales es la anomalía real del movimiento de Kepler de los cuerpos masivos M₁ y M₂.

Las soluciones particulares que se obtienen son exactamente las mismas que en el caso del problema general. Aquí, el punto de equilibrio de la masa pequeña, despreciable en comparación con las otras dos, se denomina "punto de libración".

Lagrange demostró, pues, que si el tercer cuerpo, de masa muy pequeña se encuentra en uno de los puntos de libración la configuración que forman los tres cuerpos siempre permanece semejante a si misma y sus movimientos transcurren por secciones cónicas de aspecto invariante. Así, si los tres cuerpos se encuentran en una línea recta (la masa pequeña ocupa uno de los puntos de libración de Euler-Lagrange) el sistema de los tres cuerpos gira alrededor del centro de masas. Si los tres cuerpos forman un triángulo equilátero, entonces rotan alrededor del centro de masas de modo que el triángulo siempre sigue siendo equilátero.

Si consideramos el sistema Tierra-Luna, habrán, pues, puntos singulares de Lagrange en donde podría situarse en equilibrio una sonda o dispositivo mecánico, por ejemplo, de masa despreciable en comparación con la Tierra o la Luna. También habrían puntos singulares de Lagrange en el sistema Sol-Tierra o en el sistema Sol-Júpiter, etc..

Es inmediato que, en nuestro sistema solar, el estudio de los puntos de libración para dos cuerpos masivos se vería afectado por las perturbaciones gravitacionales de los restantes planetas y satélites, por lo que, en rigor, habría de afrontarse el problema de 4 o más cuerpos, de una extraordinaria complicación y aún no resuelto. Se acostumbra a usar el método de cálculo de las perturbaciones con el que se obtiene soluciones en general aproximadas. Es este uno de los problemas de más dificultad de la actual mecánica celeste, aun incluso usando grandes ordenadores.

LOS ASTEROIDES TROYANOS:

La deducción de los puntos de libración de Lagrange y Euler-Lagrange no habría dejado de ser una curiosidad matemática de no ser por el descubrimiento, a principios del siglo XX de objetos de masa pequeña que permanecían estables en los puntos triangulares de libración del sistema Sol-Júpiter.

En 1906, el astrónomo alemán Max Wolf, del observatorio de Heidelberg, descubrió el asteroide 588 que parecía tener un movimiento de oscilación alrededor de un punto, L4, que formaba un triángulo equilátero con el Sol y el Planeta Júpiter, es decir, el punto singular triangular de libración de Lagrange que precedía al planeta Júpiter en su órbita alrededor del Sol. Pocos meses después fue descubierto el asteroide 677 con un movimiento parecido alrededor del punto singular triangular de Lagrange L5, el que seguía al planeta en su órbita alrededor del Sol.

Al poco tiempo se fueron encontrando más asteroides en los alrededores de 588 y también en los alrededores de 677. Para nominarles se utilizaron nombres extraídos de la Iliada de Homero, así, a 588 se le designó como Aquiles y al grupo que tenia alrededor se les fue denominando con nombres de guerreros griegos de la Guerra de Troya. Al 677 se le llamó Pratoclo, y su cohorte fue designada con nombres de guerreros troyanos.

Hoy se estima que los dos puntos triangulares del sistema Sol-Júpiter existen mas de 700 asteroides troyanos, con movimiento en forma de "gota" alrededor del correspondiente punto triangular de Lagrange por la influencia de los otros cuerpos del sistema solar. También se sabe que los asteroides troyanos precedentes a Júpiter (los que están alrededor del punto L4) presentan una densidad mayor, del orden de tres veces, que la densidad de los asteroides troyanos que se mueven alrededor del punto lagrangiano que sigue a Júpiter, punto L5. No existe una explicación clara del porqué de esta diferencia de densidad. El mayor de los troyanos es el denominado Hector, en L4, con un diámetro de mas de 200 kms.

Es de sospechar la existencia de objetos muy pequeños en los puntos de Lagrange de los sistemas Sol-Mercurio, Sol-Venus, Sol-Tierra, etc.., así como en los sistemas constituidos por grandes planetas y algunos de sus satélites. Hoy dia se han descubierto algunas rocas en los puntos de lagrange del sistema Sol-Marte, y se cree que hay granos de polvo en los puntos lagrangianos del sistema Tierra-Luna.

Sabemos asimismo que algunos satélites conocidos de Saturno se mantienen orbitando al planeta en puntos lagrangianos del sistema formado por Saturno y otro de los satélites. Así, se ha comprobado que los satélites Calypso y Telesco orbitan al planeta en situación muy próxima a los puntos de libración triangular lagrangianos del sistema Saturno-Tethys. Asimismo, el satélite Helena resulta estar en un punto de libración triangular del sistema Saturno-Dione.

OBJETOS EN LOS OTROS PUNTOS DE LIBRACIÓN:

Los puntos lagrangianos L₁, L₂ y L₃, o puntos de libración de Euler-Lagrange presentan mayor inestabilidad que los puntos de libración triangulares de lagrange. Los objetos que orbitan alrededor de estos puntos se dicen que tienen órbitas de Halo u órbitas estacionarias.

El punto de libración L1 en el sistema Sol-Tierra está alineado con estos astros y situado entre ambos. Se encuentra aproximadamente a 1,5 millones de kilómetros de nuestro planeta y, por consiguiente, a unos 148,4 millones de kilómetros del Sol. Esta distancia se mantiene al desplazarse la Tierra en torno al Sol y resulta factible colocar sondas o satélites artificiales orbitando este punto L1 que quedarían en órbitas prácticamente estacionarias, aunque necesitaran, sin embargo, algunas eventuales correcciones desde la Tierra.

El caso más interesante por lo exitoso es el de la nave de observación Soho, construida por la ESA (Agencia Espacial Europea) aunque su seguimiento y administración de los datos que envía están compartidos por la ESA y la NASA. Fue lanzada a bordo del cohete Atlas II el 2 de diciembre de 1995 desde Cabo Cañaveral, Florida. Es un dispositivo muy adecuado para la observación del Sol. Está situado en el punto L1, y por consiguiente fuera de la magnetosfera de nuestro planeta, evitando obviamente los eclipses solares por parte de la Tierra. La información que se recibe en el Soho puede consultarse en la pagina web http://sohowww.nascom.nasa.gov/. Se obtienen datos de la estructura de la corona solar, de la intensidad del viento solar e importantes datos sobre la estructura interna de nuestra estrella.

El otro ejemplo más reciente es el de la nave Génesis, también en órbita alrededor del punto L1 de Lagrange. Esta sonda forma parte del programa Discovery, de la Nasa, destinada fundamentalmente a recoger muestras del viento solar e isótopos componentes. Fue lanzada el día 8 de agosto de 2001 hacia el punto L1 de equilibrio gravitacional a donde llegó tras alguna dificultosas maniobras de orientación y ajuste.

Su recuperación, sin embargo, hace solo unos dias, ha presentado un serio problema que puede hacer peligrar toda la mision Génesis, pues el pasado 8 de septiembre 2004, en el momento de su entrada en la atmósfera terrestre, sobre el desierto de Utah, hubo un fallo del paracaidas de frenado que hizo que el vehículo se estrellara contra el suelo, creyendose en estos momentos perdidas las muestras que transportaba.

DOCUMENTACIÓN:

Bibliografía:

DUBOSHIN, G.N., Mecánica celeste. Métodos analíticos y cualitativos, edit Mir-Moscu, 1978
SUBBOTIN, M.F., Introducción a la Astronomía Teórica, edit Mir-Moscu, 1978
AXIONOV, E.P., El Problema de los tres cuerpos_Enciclop de Matematicas, edit Mir-Moscu, 1978

Páginas web:

Asteroides, http://www.eureka.ya.com/planet01/asteoides.htm
Asteroides, tipos, descubrimientos, http://www.mallorcaweb.net/masm/Aster.htm
Asteroides troyanos, http://axxon.com.ar/c-Zapping0089.htm
Lagrange y los asteroides troyanos, http://www.inaoep.mx/~rincon/troyanos.html
Los troyanos, http://www.astrogea.org/asteroides/troyanos.htm
Misiones solares, http://www.windows.ucar.edu/tour/link=/sun/mission.sp.html
Misión Soho, http://www.upv.es/satelite/trabajos/Grupo2_99.00/misiones/soho/soho.html
Misión genesis, http://www.iespana.es/intercosmos/reportajes/genesis/genesis_principal.htm
Sonda genesis, http://www.sondasespaciales.com/modules.php?name=News&file=article&sid=287